Как выяснилось вскоре после опубликования решения ММ215, предположение, высказанное в последней фразе обсуждения подтвердилось.
Первый пример многогранника (им оказалась шестиугольная призма), который можно до бесконечности тетраэдризировать указанным способом, прислал мне Владимир Чубанов. 
Почти сразу после этого я (и независимо от меня озадаченные мной ученики К. Никаноров и В. Таранчук) показали что куб можно тетраэдризировать на любое нечетное число тетраэдров начиная с 5. Вот {{:marathon:на-сколько-тетраэдров-можно-разрезать-куб.pdf|обоснование}} 

{{:marathon:проект_16-17.pdf|Доклад}} К. Ниванорова и В. Таранчука.

Вопрос о существовании выпуклых многогранников, которые нельзя указанным способом разрезать на конечное число тетраэдров, остается открытым.