=====ММ1=====

**Конкурсная задача ММ1** (5 баллов)

Фишка находится на расстоянии n клеток от заветной. Бросаем игральную кость (кубик) и, в зависимости от выпавшей суммы очков (от 1 до 6), перемещаем фишку к заветной клетке. В общем, все как в детской игре. Если мы еще не достигли заветной клетки, продолжаем этот процесс. Если мы после очередного хода оказались (ура!) в заветной клетке, мы выиграли. Если же мы проскочили (увы) заветную клетку, мы проиграли.
При каком n вероятность выигрыша максимальна?

**Решение**

Приведу решение, предложенное В.Пономаревым

Пусть А(i) - вероятность удачного исхода, где i - расстояние до финишной клетки.\\
А(1)=1/6\\
А(2)=1/6+1/6*А(1)\\
А(3)=1/6+1/6*А(1)+1/6*А(2)\\
А(4)=1/6+1/6*А(1)+1/6*А(2)+1/6*А(3)\\
А(5)=1/6+1/6*А(1)+1/6*А(2)+1/6*А(3)+1/6*А(4)\\
А(6)=1/6+1/6*А(1)+1/6*А(2)+1/6*А(3)+1/6*А(4)+1/6*А(5)\\
Для остальных i:\\
А(i)=1/6*(А(i-1)+А(i-2)+А(i-3)+А(i-4)+А(i-5)+А(i-6))

Очевидно, что в этом случае вероятность выиграть меньше максимального из первых шести (поскольку среднее арифметическое различных чисел меньше максимального из них). А из первых шести максимальное для i=6.

**Обсуждение**

От себя добавлю, что для первых шести n A(n)=7<sup>n-1</sup>/6<sup>n</sup>.

Замечу также, что можно получить начальные значения A(n) проще, если положить
A(-5)=A(-4)=A(-3)=A(-2)=A(-1)=0 (мы уже проскочили заветную клетку) и A(0)=1 (мы уже попали в заветную клетку). Тогда значения для любого натурального аргумента (включая первые шесть натуральных чисел) вычисляются по приведенной выше рекуррентной формуле.

И еще одно любопытное замечание:\\
Можно заметить, что с ростом n колебания функции A(n) сглаживаются и значение ее стремится к 2/7. Это вполне понятно, поскольку 2/7 есть величина обратная средней длине хода.

Задача ММ1 была опубликована в Задачнике "Кванта" под номером М2111, [[http://kvant.mccme.ru/pdf/2008/2008-06.pdf | №6-2008]] (разбор [[http://kvant.mccme.ru/pdf/2009/2009-03.pdf | №3-2009]])

**Награды**

На данную задачу, к сожалению, получено всего одно решение. (Точнее, получено целых три решения, но от одного и того же человека.) За полное и правильное решение 1-й конкурсной задачи В.Пономарев получает 5 призовых баллов