===== №107 =====

Наталия Макарова предложила посвятить целый тур Марафона любимым ею 
магическим и латинским квадратам. К столь радикальным шагам я пока не готов,
но, в порядке эксперимента, предлагаю участникам "квадратную" задачку, 
навеянную предлагаемыми задачами, но значительно более простую.

** Конкурсная задача ММ107 ** (4 балла)

Существует ли магический квадрат 3х3, составленный и попарно различных простых
чисел, магическая сумма которого, тоже простое число?

Примечание:\\
Магический квадрат - это квадратная матрица, у которой сумма элементов каждой 
строки (столбца, большой диагонали) равна одному и тому же числу (магической 
сумме). 

** Решение **

Приведу решение Тимофея Игнатьева.

Лемма.\\ 
Центральный элемент магического квадрата 3x3 равен трети магической суммы.

Доказательство.\\ 
Найдем сумму сумму элементов первого и последнего
столбцов и центрального элемента. Сделаем это 2-мя различными способами:\\
1) рассматриваемая сумма равна удвоенной магической сумме (2 столбца)
плюс центральный элемент;..
2) рассматриваемая сумма равна утроенной магической сумме (2 диагонали и
средняя строка) за вычетом двух центральных элементов.\\
Приравнивая эти суммы, приходим к доказываемому утверждению.

Итак магическая сумма квадрата 3x3 является составным числом, даже если он 
заполнен произвольными (различными) натуральными (а не только простыми) числами.

** Обсуждение **

Знаток магических квадратов, Наталия Макарова, конечно же, тоже знала доказанный
выше факт. Отальные марафонцы (включая ведущего) углубились в рассмотрение 
возможных остатков от деления на 3. Впрочем, такой путь не помешал им прийти к
правипьному ответу. 

И лишь Николай Дерюгин привел сразу несколько квадратов, заполненных попарно 
различными простыми числами с магической суммой 61 (а также квадрат с 
магической суммой 67). К сожалению, Николай забыл, что сумма элементов каждой
из больших диагоналей также должна совпадать с магической.

** Награды **

За правильное решение задачи ММ107 Виктор Филимоненков, Кирилл Веденский, 
Тимофей Игнатьев, Наталия Макарова, Алексей Ворошин и Анатолий Казмерчук получают по 4 призовых 
балла. Николай Дерюгин (правильно решивший искаженную задачу) получает два 
призовых балла.

** Эстетическая оценка задачи - 3.9 балла **
----