===== №112 =====
Светлой памяти C5 ЕГЭ посвящается.
** Конкурсная задача ММ112 ** (6 баллов)
Решить уравнение при всех возможных наборах значений параметров a и b:\\
11x+a2-2a+b2+4b+|2x+a2-2a+4b+b2|+|-3x+2+a2-2a-4b-b2|+|-x-4b-b2+a2-2a|+18|x-2|=20
**Решение**
График функции \\
f(x)=11x+a2-2a+b2+4b+|2x+a2-2a+4b+b2|+|-3x+2+a2-2a-4b-b2|+|-x-4b-b2+a2-2a|+18|x-2|-20,
очевидно, представляет собой ломаную. Поскольку 18 > 11+2+3+1, независимо от того с каким знаком раскрываются
абсолютные величины, при x<2 функция убывает, а при x>2 - возрастает.
Поэтому разрешимость уравнения равносильна условию f(2) ≤ 0.\\
После замены переменных c=(a-1)2+(b+2)2, \ d=(a-1)2-(b+2)2 получим -3+c+|c-1|+|d-1|+|d+1| ≤ 0.\\
Учитвыя, что с-1+|c-1| ≥ 0 и |d-1|+|d+1| ≥ 2, приходим к выводу, что условие f(2)<0 не выполняется
никогда, а f(2)=0 выполняется тогда и только тогда, когда c ≤ 1 и -1 ≤ d ≤ 1.
Возвращаясь к параметрам a и b и принимая во внимание, что (a-1)2+(b+2)2 ≤ 1 влечет |(a-1)2-(b+2)2| ≤ 1,
окончательно получаем\\
Ответ: x=2 при (a-1)2+(b+2)2 ≤ 1; при остальных a и b нет решений.
**Обсуждение**
Любопытно выглядит (а заодно подтверждает правильность наших выкладок) график f(2), рассматривааемой как функция от a и b:
{{:marathon:pic_112.jpg|:marathon:pic_112.jpg}}
**Награды**
За правильное решение задачи ММ112 Андрей Халявин, Алексей Волошин, Виктор Филимоненков, Анатолий Казмерчук, Владислав Франк и Сергей Половинкин получают по 6 призовых баллов.
Николай Дерюгин (он потерял внутреннюю часть круга) получает 4 призовых балла, а Эдвард Туркевич (у него и вовсе от круга остались всего 4 точки) - 3 призовых балла.
**Эстетическая оценка задачи - 4 балла**
----