===== ММ142 =====


**Конкурсная задача ММ142** (4 балла)

Все 80 натуральных делителей натурального числа n расположили в порядке возрастания. Оказалось, делители с первого по четвертый образуют геометрическую прогрессию, делители с четвертого по седьмой - арифметическую прогрессию, а восьмой делитель меньше 200.
Найти n.

**Решение**

Первые 4 делителя обязаны иметь вид: 1, p, p<sup>2</sup>, p<sup>3</sup>.
Учитывая, что 8-й делитель меньше 200, имеем p ? {2,3,5}.

Пусть p=2. Тогда первый член арифметической прогрессии, которую образуют делители с 4-го 7-й, равен 8.
Разность прогрессии d не может быть четна, как в этом случае 6-й делитель равен 24. Но это невозможно, поскольку 3 не является делителем.
Если разность прогрессии нечетна, тогда 5-й делитель q=8+d - наименьший нечетный простой делитель n.
Поскольку 8+2d < 2q меньше, 6-й делитель равен 16. Но тогда 5-й равен 12, что невозможно.
Итак, p не равно 2.

Пусть $p=3. Тогда все делители n нечетны и d обязано быть четным.
7-й делитель 27+3d - кратен 3. Поэтому либо 27+3d = 3q, где q = 27+d, либо 27+3d = 81.
Легко проверить, что оба случая невозможны. 

Остается случай p=5. Тогда  4-й делитель равен 125, а делители с 5-го по 7-й (125+d, 125+2d и 125+3d) должны быть простыми.
Из последнего следует, что d обязано быть кратно 6. Если d > 24, то 8-й делитель больше 200.
Итак d ? {6, 12, 18, 24}.
125+18 = 13?11. Поэтому d не может равняться 6 и 18.
125+36 = 7?23. Поэтому d не может равняться 12.
При d=24 получаем три простых делителя 149, 173 и 197.
Для восьмого делителя, который меньше 200, остается одна возможность - 199.

Итак, мы уже имеем 5 различных простых сомножителей n. один из которых входит в разложение n не менее, чем в 3-й степени.
Это дает не менее (3+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 64 делителей.
Если у n найдется еще один простой делитель или еще один из имеющихся делителей будет в ходить в разложение n в степени выше 1-й, общее число делителей превысит 80.
Остается единственная возможность n = 5<sup>4</sup>⋅149⋅173⋅197⋅199 = 631584831875.

**Обсуждение**

Задача не вызвала затруднений у участников. С ней успешно справились 15 человек (второй результат в истории Марафона).

**Награды**

За правильное решение задачи ММ142 Анатолий Казмерчук, Виктор Филимоненков, Алексей Волошин, Сергей Половинкин, Николай Дерюгин, Дмитрий Пашуткин, Андрей Халявин, Евгений Машеров, Кирилл Веденский, Александр Ларин, Евгений Гужавин, Галина Крюкова. iPhonograph, Sirion и Umnik получают по 4 призовых балла. 

**Эстетическая оценка - 4.3 балла**

//Разбор задачи ММ142 подготовил Владимир Лецко//
----