===== 147 =====

**Конкурсная задача ММ147 (КГ13)** (6 баллов) 

Какое наименьшее число внутренних диагоналей может иметь n-угольник, у которого ровно один угол больше развернутого?

**Решение**

Воспользуюсь чертежом Анатолия Казмерчука:

{{:marathon:mm_147.jpg|:marathon:mm_147.jpg}}

Размеcтив вершину A<sub>n</sub> внутри треугольника, образованного стороной A<sub>s</sub>A<sub>s+1</sub> и диагоналями A<sub>s-1</sub>A<sub>s+1</sub>, A<sub>s</sub>A<sub>s+2</sub>, добьемся максимального для данного s числа диагоналей, не являющихся внутренними.
Ясно, что внутренними будут диагонали A<sub>s</sub>A<sub>n</sub>, A<sub>s-1</sub>A<sub>n</sub>, а также диагонали выпуклых многоугольников, A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>...A<sub>s</sub>A<sub>n</sub> и A<sub>s+1</sub>A<sub>s+2</sub>...A<sub>n-1</sub>A<sub>n</sub>. 
Число диагоналей, не являющихся внутренними, будет наибольшим, когда количества вершин от A<sub>1</sub> до A<sub>s</sub> и от A<sub>s+1</sub> до A<sub>n-1</sub> будут равны или максимально близки между собой (произведение целых положительных сомножителей с постоянной суммой максимально, когда сомножители максимально близки между собой).
При нечетных n и s = (n-1)/2 получим 2(s+1)(s-2)/2+2 = (n-1)(n-3)/4. 
При четных n и s = n/2 наименьшее число внутренних диагоналей будет (s+1)(s+3)/2+s(s-2)/2+2 = (n-2)<sup>2</sup>/4.

**Обсуждение**

Тот же ответ можно получить, вычитая из общего число диагоналей исходного многоугольника число диагоналей, не являющихся внутренними.

Замечу, что среди диагоналей, не являющихся внутренними, одна (на рисунке это A<sub>1</sub>A<sub>n-1</sub> обязательно является внешней. Но внешних диагоналей может быть и более одной. Впрочем, на ход решения и ответ это обстоятельство никак не влияет. 
Оба ответа можно объединить в один. Например, так: (n<sup>2</sup>-4n+3+(n+1) mod 2)/4.

**Награды**

За правильное решение задачи ММ147 Анатолий Казмерчук, Виктор Филимоненков, Алексей Волошин, Сергей Половинкин, Николай Дерюгин и Дмитрий Пашуткин получают по 6 призовых баллов. Александр Ларин получает 5, а Кирилл Веденский - 3 призовых балла. 

**Эстетическая оценка - 4.4 балла**

//Разбор задачи ММ147 подготовил Владимир Лецко//
----