===== 157 =====

**Kонкурсная задача ММ157** (6 баллов)      

В треугольнике ABC, отличном от прямоугольного, проведены высоты AE и CF, пересекающиеся в точке H. Через точки A и H проведены перпендикуляры к EF, пересекающие прямую BC в точках K и L.
Найти KL, если радиус окружности, вписанной в треугольник ABC равен r, а BC = a.

**Решение**

Приведу решение Алексея Волошина: 

Имеют место следующие равенства:
KL/KE = AH/AE (1)\\
KE/AE}=CF/AF (2)\\
AH/AF}=AB/AE (3)\\
CF·AB=AE·BC (4)\\
Первое тождество следует из параллельности прямых AK и HL.
Третьё - из подобия прямоугольных треугольников AFH и AEB по трем углам.
В четвёртом тождестве слева и справа записана удвоенная площадь треугольника ABC.
Для доказательства второго тождества нужно заметить, что точки E и F лежат на окружности с диаметром AC. Далее простым перебором вариантов доказываем, что ∠ACF = ∠AKE:
Если треугольник ABC остроугольный, то ∠ACF = ∠AEF = π/2 - ∠FEK = ∠AKE. Если же один из углов тупой, то ∠ACF = π/2 - ∠CAF = π/2 - ∠CEF = ∠AKE  (все три варианта нужно рассматривать отдельно, но цепочка равенств будет одинаковой). 
Следовательно, треугольники KEA и CFA подобны по трем углам, а значит второе равенство верно.

{{:marathon:157_1.jpg|:marathon:157_1.jpg}}

{{:marathon:157_2.jpg|:marathon:157_2.jpg}}

{{:marathon:157_3.jpg|:marathon:157_3.jpg}}

{{:marathon:157_4.jpg|:marathon:157_4.jpg}}

После этого ответ находится совсем просто:
KE=KL·AH/AE = AH·KE/AE = AH·CF/AF = CF·AH/AF = CF·AB/AE = AE·BC/AE = BC = a.

**Обсуждение**

Автору задачи (т.е. мне)  и большинству участников задача приглянулась тем, что искомая величина однозначно определена всего одним параметром, хотя, на первый взгляд, это совершенно не очевидно.

Большинство конкурсантов привели решения, либо схожие с приведенным, либо средствами аналитической геометрии.
На этом фоне выделяется решение, присланное сразу после опубликования задачи. Его автор - **nnosipov**

{{:marathon:mm157.jpg|:marathon:mm157.jpg}}

Некоторые марафонцы задались вопросом (у наиболее  проницательных вопросов не возникло): зачем в условии дан радиус вписанной окружности, от которого ответ никак не зависит (разве что r будет слишком велико по сравнению с a). Отвечаю: для запутывания "вероятного противника". Впрочем, вынужден признать, что затея провалилась.

Что будет, если исходный треугольник прямоугольный?
Если угол C прямой, то решение останется в силе. только станет значительно проще (KL совпадет с BC).
Если угол B прямой, то точки E, F, H и B совпадают и отрезок KL не определен.
Если же прямым будет угол A, точки A и H совпадают, а препендикуляр к EF не пересекается с BC.

**Награды**

За правильное решение задачи ММ157 Виктор Филимоненков, Олег Полубасов, Сергей Половинкин, Алексей Волошин, nnosipov, Дмитрий Пашуткин, Николай Дерюгин и Анатолий Казмерчук получают по 6 призовых баллов.  

**Эстетическая оценка - 4.9 балла**

//Разбор задачи ММ157 подготовил Владимир Лецко//
----