=====ММ18=====

**Конкурсная задача ММ18** (3 балла)

Найти все простые p, такие что числа 2p<sup>3</sup>+6p<sup>2</sup>+2p+3, 4p<sup>3</sup>+10p<sup>2</sup>+2p+9, 5p<sup>3</sup>+10p<sup>2</sup>+2p+12, 5p<sup>3</sup>+8p<sup>2</sup>+7p+5 просты.

**Решение**

Введем обозначения:\\
a = 2p<sup>3</sup>+6p<sup>2</sup>+2p+3;\\
b = 4p<sup>3</sup>+10p<sup>2</sup>+2p+9;\\
c = 5p<sup>3</sup>+10p<sup>2</sup>+2p+12;\\
d = 5p<sup>3</sup>+8p<sup>2</sup>+7p+5.

Разложим данные в условии выражения a, b, c, d как многочлены от p по модулю 13:\\
a ≡ 2(p-1)(p-3)(p-6) (mod 13);\\
b ≡ 4(p-7)(p-11)(p-12) (mod 13);\\
c ≡ 5(p-5)(p-9)(p-10) (mod 13);\\
d ≡ 5(p-2)(p-4)(p-8) (mod 13).

Ясно, что при любом простом p не кратном 13 одно из чисел a, b, c, d будет кратно 13 (и все они будут большие 13).
Поэтому остается рассмотреть единственную возможность p = 13.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что при этом значении p числа a = 5437, b = 10513, c = 12713 и d = 12433 - простые.

Ответ p = 13.

**Награды**

За правильное решение этой задачи Борис Бух получает три призовых балла. 
----