=====ММ203=====

**Конкурсная задача ММ203** (5 баллов)

Единичный квадрат разрезали на 5 равновеликих фигур отрезками, параллельными диагоналям. Найти наименьшую возможную суммарную длину этих отрезков.

**Решение**

Привожу решения {{:marathon:mm203_полубасов.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_pr_203.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:mm203_polovinkin.pdf|Сергея Половинкина}}.

**Обсуждение**

В отличие от первых двух задач, ММ203 оказалась трудным орешком. И для участников, и для ведущего.
Предлагая эту задачу, я располагал обоснованием оптимальности известного мне решения (точнее, бесконечного числа решений с одинаковым ответом), основные идеи и степень строгости которого примерно совпадают с аналогами, изложенными в решениях Анатолия Казмерчука и Олега Полубасова.
Как и Анатолий (но не Олег), я полагал такая строгость не оставляет сомнений в правильности ответа, но не является логически безупречной.

Возникает вопрос, зачем же тогда я оценил всего 5-ю баллами сложность задачи, которую я сам не смог решить. 
Ответ прост. Как и в ряде предыдущих задач, я заранее предполагал оценивать в 5 баллов решения подобные авторскому, а более строгие или даже более оптимальные решения (в существование коих я ни секунды верил) поощрять дополнительными призовыми баллами. Точно так же я не раз поступал при назначении цены предыдущих задач Марафона. Правда, обычно я заранее сообщал о подобных тонкостях в примечаниях к условии. А на этот раз не стал, дабы не отпугнуть наиболее робких участников :-)

И, как водится, заложив в условие вышеописанную мину замедленного действия, я сам же на ней и подорвался. 
Казалось бы, какие проблемы? На ММ203 поступило всего 7 решений (еще одно свидетельство трудности задачи). В каждой из семи есть правильный ответ. Но...
Как оценивать решения в которых:\\
ничего не говорится об оптимальности приводимого разреза (разрезов);\\
утверждается, что автор уверен в оптимальности решения, но не знает, как это обосновать;\\
утверждается, что автор полагает, что есть более оптимальный разрез, который найти не удалось;\\
приводится обоснование оптимальности, которое, **на мой взгляд**, не является строгим;\\
приводится обоснование оптимальности, которое, **на мой взгляд**, не является обоснованием...\\
?\\
А если добавить, что некоторые участники ограничились одним вариантом оптимального разреза, другие привели несколько, третьи указали, что подходящих разрезов бесконечно много...\\
В общем я, привычно затруднялся, распределяя призовые баллы. И, после долгих мучений, занялся почти уравниловкой.

Особо отмечу слова, выделенные в предыдущих причитаниях жирным шрифтом. Высокая квалификация участников, утверждающих, что оптимальность решения обоснована, не вызывает сомнений. Поэтому я не исключаю, что именно я чего-то недоглядел и недооценил. Если это так... Что ж, эта тема недаром называется "Обсуждение и разбор марафонских задач", а не только разбор. Буду рад пересмотреть свои оценки, если на то будет достаточное основание. 

На этот раз участники почти не пытались обобщать задачу. Хотя рассмотрение ситуации, в которой квадрат режется на другое частей, казалось бы, напрашивается. Однако единственным, кто задался этим вопросом, был Олег Полубасов. Но и у него не все получилось. По крайней мере, предложенные Олегом разрезы на 9 и 10 равновеликих частей не оптимальны:

{{:marathon:mm203_9.png?200|}}

Суммарная длина отрезков разбиения равна 2√2+3(1+√3)/2 ≈ 4.65, т.е. меньше чем у Олега.

А здесь суммарная длина отрезков разбиения равна 3√2+√2/√5) ≈ 4.875, т.е. вновь меньше чем у Олега.

{{:marathon:mm203_10.png?200|}}

У меня, было, возникла гипотеза, что при разрезании квадрата на 3k-2 частей наименьшая суммарная длина разреза будет равна k√2. Однако, она рухнула уже при k=4:

{{:marathon:mm203_11.png?200|}}

Легко убедиться, что суммарная длина разреза меньше 4√2 ровно на длину двух синих отрезков. 

**Награды**

ЗЗа решение задачи ММ203 начислены следующие баллы: Олег Полубасов - 6 призовых баллов, Анатолий Казмерчук - 5 призовых баллов; Сергей Половинкин, Евгений Гужавин, Виктор Филимоненков, Валентина Колыбасова (Ариадна) и Алексей Извалов - по 4 призовых балла.

**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов**

----