=====ММ214=====

**Конкурсная задача ММ214** (4 балла)

1. Все грани многогранника - n-угольники. При каких n это возможно?\\ 
2. При каком наименьшем числе граней существует многогранник, все грани которого пятиугольны?

**Решение**

В качестве образца типового решения приведу то, которое прислал {{:marathon:fiviol_mm214.docx|Виктор Филимоненков}}. Решения с обобщениями традиционно представлены {{:marathon:mm214_polubasoff.pdf|Олегом Полубасовым}} и {{:marathon:kazmerchuk_pr_214.docx|Анатолием Казмерчуком}}.

**Обсуждение**

Для решения ММ214 практически все участники в той или иной форме перевывели часть, так называемой, теоремы Эберхарда:\\
Для любого многогранника справедливо соотношение <m>sum{i=3}{n}{g_i}(6-i) >= 12</m>, где g<sub>i</sub> - количество i-угольных граней, а n - наибольшее число сторон в гранях. Причем это неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда многогранник является простым (степень каждой вершины равна 3).\\ 
Кроме того в теореме Эберхарда утверждается, для любого набора g<sub>i</sub>, удовлетворяющего соотношению <m>sum{i=3}{n}{g_i}(6-i) = 12</m>, при подходящем значении g<sub>6</sub> найдется соответствующий многогранник. 

Поскольку большинство марафонцев получили требуемые соотношения еще при решении предыдущих задач конкурса, ответы на ММ214 получились совсем короткими.

Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук заинтересовались естественным вопросом о возможных количествах граней многогранников, все грани которых имеют поровну сторон. При n=3 ответ на этот вопрос тривиален. При n=4 ответ был получен при обобщении ММ211. Поэтому интересен лишь случай n=5.

Вопрос о максимальной возможной степени вершин рассматриваемых многогранников показался мне менее несколько "притянутым за уши" к MM214. 

**Награды**

За правильное решение задачи ММ214 и получение ответа на ряд смежных вопросов Анатолий Казмерчук получает 7 призовых баллов, а Олег Полубасов - 6 призовых баллов. За правильное решение ММ214 Василий Дзюбенко, Игорь Ханов, Владислав Франк, Владимир Чубанов, Виктор Филимоненков, Владимир Дорофеев и Дмитрий Пашуткин получают 4 призовых балла.

**Эстетическая оценка задачи - 4.2 балла**
----