=====ММ215=====

**Конкурсная задача ММ215** (4 балла)

На какое наименьшее количество тетраэдров можно разрезать шестиугольную призму?

**Решение**

привожу решения {{:marathon:fiviol_мм215.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:marathon:pashutkin_mm215.pdf|Дмитрия Пашуткина}} и {{:marathon:kazmerchuk_pr_215.docx|Анатолия Казмерчука}}.

**Обсуждение**

Эта задача оказалась первой в нынешнем конкурсе, вызвавшей затруднение сразу у нескольких участников.\\
Несколько неожиданно для меня даже разрезание призмы на 10 тетраэдров удалось найти не всем.\\
Более ожидаемыми были затруднения с доказательством минимальности 10 тетраэдров.\\
Авторское решение выглядело примерно так:\\
В верхней и нижней гранях лежат основания не менее чем 8 тетраэдров разбиения. Их суммарный объем - не более 2/3 объема призмы. Однако //объем одного тетраэдра, содержащегося в шестиугольной призме, не может составлять треть объема призмы//. Ну и предъявить разрезание на 10 тетраэдров.
При этом не заморачивался с аккуратным доказательством утверждения, выделенного курсивом, понадеявшись, что это сделают конкурсанты (и они, в целом, не подвели :-)).
Кроме того, я надеялся, что участники придумают и другие интересные обоснования минимальности 10 тетраэдров, не связанные с подсчетом объемов. 
Но здесь оказалось все не так просто. Другие обоснования были предложены. но либо недостаточно строгие, либо слишком путаные, либо то и другое вместе.
В  частности, я испытывал затруднения в оценке строгости решения Дмитрия Пашуткина. В нем вызывает вопросы обоснованность фразы:
"Оставшаяся часть призмы разрезана гранями восьми тетраэдров с гранями на основаниях, и оставшийся многогранник будет иметь более четырех
граней." . После некоторых сомнений я решил исходить из "презумпции невиновности", т.е. считать, что Дмитрий не привел подробностей лишь на том основании, что они ему очевидны.\\
В некоторых других случаях (когда недостаточно обоснованных допущений было больше одного) я учел это при выставлении баллов за задачу. (Иногда изъятые баллы скомпенсировались дополнительными.)

Интересно, что два способа разрезания шестиугольной призмы на 10 тетраэдров (отсечение шести тетраэдров с последующим разрезанием октаэдра; разрезание призмы на две четырехугольных с последующим разрезанием каждой на пять тетраэдров) оказались примерно равнопопулярны среди конкурсантов. 

В связи с рассмотрением ММ211 у меня возник интересный вопрос.\\
Будем проводить "тетрраэдризацию" многогранников по следующим правилам:\\
За один шаг можно разрезать многогранник (исходный или полученный на одном из предыдущих шагов и рассматриваемый отдельно) плоскостью, проходящей не менее чем через 3 вершины многогранника. процесс продолжаем до тех пор, пока исходный многогранник не разобьется на тетраэдры.

Легко видеть, что всякая n-угольная пирамида разобьется на n-2 тетраэдра.\\
Для куба (четырехугольной призмы) имеем уже, как минимум, два возможных ответа: 5 и 6.\\
Для треугольной бипирамиды возможные ответы 2 и 4 уже не являются соседними числами. \\
Таким образом, у каждого многогранника возникает любопытные характеристики: минимальное количество тетраэдров (в "тетраэдризации", проведенной по вышеописанным правилам); максимальное количество тетраэдров; набор возможных количеств тетраэдров...
Или, все же, не у каждого?

Сначала мне показалось, что конечность описанного выше процесса легко обосновать. Достаточно придумать какую-либо характеристику многогранника, выражающуюся натуральным числом. и такую, что у каждого из двух многогранников, возникающих после одного шага эта характеристика меньше, чем у исходного.
Однако для каждого из кандидатов на роль такой характеристики мне легко удавалось найти пример многогранника и разрезания, после которого эта характеристика возрастает или не меняется.

Может быть, многогранники делятся на "тетраэдризируемые" за конечное число шагов и те, для которых вышеописанный процесс не всегда (или даже всегда не) сходится? (См. приложение)


**Награды**

За решение и обобщение задачи ММ214 участникам начислены следующие призовые баллы:\\ 
Анатолий Казмерчук - 7;\\
Владислав Франк и Олег Полубасов - по 5;\\
Владимир Чубанов, Виктор Филимоненков и Дмитрий Пашуткин - по 4 балла;\\
Дмитрий Курашкин - 3;
Василий Дзюбенко - 1.

**Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла**
----
[[mm_215_appendix|Приложение]]
----