===== ММ227 ===== **Конкурсная зхадача ММ227** (7 баллов) Пусть n = {p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_s}^{a_s} - каноническое разложение n. Обозначим через sopf(n) число p_1+p_2+...p_s.\\ Назовем натуральное число k слабым, если уравнение x = k*sopf(x) неразрешимо в натуральных числах, и сильным в противном случае.\\ Доказать, что сильных чисел бесконечно много.\\ Найти наименьшее слабое число.\\ Доказать, что слабых чисел бесконечно много. **Решение** Привожу решения {{:marathon:mm227-2_ariadna.pdf|Валентины Колыбасовой}}, {{:marathon:kazmerchuk_pr_227.pdf|Анатолия Казмерчука}}, {{:marathon:mm227_fiviol.pdf|Виктора Филимоненкова}} и {{:marathon:mm227_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}. **Обсуждение** Я не обнаружил никаких следов ММ227 в OEIS. Планирую исправить это упущение. При этом интересны не сила или слабость тех или иных наборов простых множителей, сравнение силы сильных. Этот момент не нашел своего выражения в присланных решениях. Придется отдуваться ведущему.\\ Рассмотрим, например, наиболее простой класс сильных чисел - степени простых. Для каждого p уравнение x = k*sopf(x) разрешимо. При этом количество решений зависит только от p. Таким образом, возникает любопытное разбиение всех простых числел на классы:\\ К классу 1 относятся простые числа 2, 61, 97, 113, 151, 173...\\ К классу 2 - 3, 5, 17, 29, 41, 53, 73, 79...\\ К классу 3 - 7, 11, 13, 23, 37, 47, 89...\\ К классу 4 - 19, 31, 43, 67, 103, 131...\\ К классу 5 - 71, 179...\\ Естественно возникает вопрос о бесконечности классов для каждого натуральноо числа. Более тонок вопрос об асимтотической плотности классов. Задача ММ227 понравилась участникам. Даже если исключить мнение марафонцев, оценивающих задачи по однобалльной шкале, оценка останется высокой :-) Такая ситуация весьма редка. Обычно, при достаточном количестве присланных решений палитра вкусовых предпочтений достаочно широка. Разброс в призовых баллах тоже не слишком велик. Мне показалось недостаточно строгим обоснование слабости числа 46 Евгением Гужавиным. Это нашло отражение в оценке. Если Евгений докажет мне, что это я, а не он чего-то упустил готов пересмотреть его оценку. **Награды** За решение задачи ММ227 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ Олег Полубасов - 9;\\ Анатолий Казмерчук - 8;\\ Владислав Франк, Владимир Дорофеев, Виктор Филимоненков, Валентина Колыбасова и Тимофей Игнатьев - по 7;\\ Евгений Гужавин - 6. **Эстетическая оценка задачи - 4.9 балла** ----