===== ММ254 =====

**Конкурсная задача ММ254** (6 баллов)

Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие?

**Решение**

Привожу решения {{:marathon:мм254_fiviol.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:marathon:mm254_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_254.pdf|Анатолия Казмерчука}}.

**Обсуждение** 

В отличие от прошлой задачи, при решении ММ254 избежали технических ошибок (хотя ошибиться было где). Но неожиданно вернулись проблемы с пониманием условия и вопроса задачи.
И если для ММ251 такие проблемы были вполне ожидаемы (я уже объяснял, почему сознательно не стал доскональнее прописывать условие той задачи), то ММ254 представлялась мне сформулированной ясно и однозначно.
Единственный нюанс - учитывать ли первый круг. Для придания однозначности я продублировал слово "шагов", словом "кругов", поясняя, что первый круг тоже следует считать. Тем не менее, сосчитали его не все. Но я заранее решил, что не буду считать это за ошибку.
Я не снижал баллы и за отсутствие явного указания на то, что Вася может и не добраться до 80% даже при бесконечном числе шагов (ведь в задаче спрашивалось "может ли площадь кругов превысить 80%", а не "превысит ли").
Теперь о замечаниях, за которые баллы снимались.
Валентин Пивоваров почему-то решил, что за один шаг обязательно вписывается сразу по 3 круга (в каждый из углов треугольника). Перечитав условие я убедился, что в нем нет намеков на такое толкование. Тем не менее, я счел возможным поставить Валентину достаточно высокий балл, поскольку параметры трех геометрических прогрессий были определены верно, то есть, было сделано практически все, что нужно для решения.
Еще два участника почему-то ограничились нахождением наименьшего количества кругов, покрывающих более 80% площади треугольника. Проанализировав условие, я пришел к выводу, что вина за такую трактовку лежит исключительно на этих участниках :-)
Наконец, в одном из решений превышение 80% на любом круге, начиная с 6-го, отмечается, но отдельно не обосновывается. Хотя легко подобрать начальные данные так, что правильным ответом будет, например, такой "требуемый процент будет превышен на 3-м, 4-м или 5-м шаге".

Анатолий Казмерчук нашел диапазон, в котором может изменяться отношение площади треугольника к предельной сумме площадей кругов в зависимости от формы треугольника.
Олег Полубасов показал, как приближаться к границам этого диапазона, но не обосновал непреодолимость этих границ. 
Владислав Франк получил нижнюю границу.

Отдельно отмечу замечательное наблюдение Олега Полубасова - поразительную близость отношения площади египетского треугольника к сумме площадей вписанного круга и трех кругов, вписанных в углы треугольника, к π/2. 

Участники поставили передо мной непростую задачу: зачастую те решения, которые содержали обобщения задачи, одновременно имели перечисленные выше недостатки. Во что вылилось добавление дополнительных баллов при одновременном вычитании основных см. ниже.

**Награды**

За решение задачи ММ254 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
Анатолий Казмерчук - 7\\
Владислав Франк - 7\\
Олег Полубасов - 7\\
Константин Шамсутдинов - 6\\
Виктор Филимоненков - 6\\
Денис Овчинников - 5\\
Валентин Пивоваров - 4.

**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла **

----