===== ММ259 =====

**Конкурсная задача ММ259** (8 баллов)

Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\ 
a) равновелик;\\
б) подобен;\\
в) равен \\
исходному?

**Решение**

Привожу решения {{:marathon:mm259_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:marathon:frank_mm259.pdf|Владислава Франка}}. С рншением Анатолия Казмерчука можно ознакомиться [[https://dxdy.ru/post1490274.html#p1490274]|тут]].

**Обсуждение** 

Как обычно, к концу соревнования (или очередного этапа, кому как нравится) марафонцы начали потихоньку уставать и сходить с дистанции.
Зато оставшиеся участники порадовали разнообразием подходов.
Например, Влад Франк прибегнул к комплексной параметризации. Аналогичный прием, примененный при решении ММ157 (см. разбор), привел к короткому изящному решению. Удалось ли добиться такого же эффекта для ММ259, судите сами.

Некоторое расхождение в оценках связано со строгостью обоснования последнего пункта.
За одним исключением. У Виктора Филимоненкова все обосновано строго. Но он почему-то рассмотрел треугольник с вершинами в центрах вписанной и описанной окружностей и в ортоцентре (а не центориде, как было в условии).
Такой треугольник не может быть не только равен, но и подобен исходному.

Для полноты картины замечу, что треугольник с вершинами в центроиде, инцентре и ортоцентре, так же как и треугольник из условия, может быть равновелик и подобен, но не равен исходному.
В параметризации A(-1;0), B(1;0), C(x;y), где 0≤x<1, (x+1)<sup>2</sup>+y<sup>2</sup> ≤4, единственному треугольнику с вершинами в центроиде, инцентре и ортоцентре, подобному исходному соответствует С(0.6367873395...; 0.5201582408...). 
Наконец, треугольника с вершинами в центроиде, ортоцентре и центре описанной окружности не существует, поскольку эти точки лежат на прямой Эйлера.

Любопытно, что, если в указанной параметризации взять C(0.3246129395..., 0.4677703801...), треугольник с вершинами в ортоцентре и двух точках Аполлония (изодинамических центрах) подобен исходному с коэффициентов подобия довольно близким к 1.

Я полагаю, что никакой треугольник не может быть равен треугольнику с вершинами в каких-то трех своих замечательных точках. Но пока проверил не все сочетания замечательных точек из ETC (а там порядка 40000 центров) по три :-) 

**Награды**

За решение задачи ММ259 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
Анатолий Казмерчук - 9\\
Владислав Франк - 8\\
Денис Овчинников - 8\\
Константин Шамсутдинов - 7\\
Виктор Филимоненков - 5\\

**Эстетическая оценка задачи - 4.8  балла **

----