===== ММ266 ===== **Конкурсная задача ММ266** (7 баллов) Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\ 1) τ(n3 )=τ(n)2, где n – произведение всех выписанных чисел;\\ 2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи. Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения. **Решение** Привожу решения {{:marathon:mm266.pdf|Василия Дзюбенко}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_266.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:мм266-решение-м.л.docx|Мераба Левиашвили}}. **Обсуждение** Вскоре после опубликования условий задач XXVII Марафонского конкурса Олег Полубасов поднял вопрос о неоднозначности ответа в ММ266. Тут бы ведущему и проверить условие еще раз. Но события развивались по другому сценарию. Ведущий, используя аргументацию с стиле Паниковского ("А какие же они по-вашему?!") сумел переубедить Олега столь радикально, что тот уменьшил количество решений до одного.\\ Но победа ведущего оказалась пирровой, поскольку, на самом деле, решений оказалось два (я потерял решение с одним составным числом). Очередной (и не последний) раз размышляя, как разруливать возникшую ситуацию я пришел к такому "соломонову" решению: нашедшим одно решение ставить за задачу полный балл (ведь они решили задачу не хуже ведущего, да и итог обсуждения с Олегом как-бы подсказывал, что второго решения искать не надо), а нашедших оба решения поощрять дополнительным баллом (как обычно дополнительные баллы раздаются более скупо, чем основные). Обобщать задачу взялись два конкурсанта. Причем в принципиально разных (перпендикулярных) направлениях.\\ Мераб Левиашвили, оставив незыблемым условие τ(n3 )=τ(n)2 (а значит, и попарную взаимную простоту дней рождения), занялся рассмотрением задачи в других календарях.\\ Анатолий Казмерчук, наоборот, сосредоточил свое внимание на на уравнении τ(na )=τ(n)b \\ Рассуждения Анатолия представляются мне более интересными (менее искусственными). Впрочем, возможно, это лишь моя субъективная "кочка зрения". **Награды** За решение задачи ММ266 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ Анатолий Казмерчук - 10;\\ Мераб Левиашвили - 9;\\ Василий Дзюбенко - 8;\\ Денис Овчинников - 8;\\ Владислав Франк - 8;\\ Александр Романов - 8;\\ Константин Шамсутдинов - 8;\\ Виктор Филимоненков - 8;\\ Олег Полубасов - 7;\\ Владимир Дорофеев - 7. **Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла** ----