===== ММ267 =====

**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)

Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?

**Решение**

Привожу решения {{:marathon:мм267_fiviol.docx|Виктора Филимоненкова}} (с примером, добавленным Виктором по моей просьбе), {{:marathon:kazmerchuk_mm_267_1_.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:mm267_romanov.pdf|Александра Романова}}.

**Обсуждение** 

В условие ММ267 ведущим (неосознанно) была заложена (очередная) логико-лингвистическая бомба. Итак, в чем же уверен Петя?!\\
Я уверен, что Петя уверен, будто представления первого вида встречаются **реже**, чем представления второго. Ведь именно "реже" (а отнюдь не "не чаще") является обратным бинарным отношением к отношению "чаще". Разумеется, при такой интерпретации Петя не прав.\\
Большинство же конкурсантов полагают, что Петя уверен в том, что Вася не прав. Ясно, что в этом случае Петя прав.\\
В результате ведущему вновь пришлось прибегать к "соломонову решению". Точнее, к решению мудреца из анекдота, который заверил каждого из спорщиков, что он прав. Правы и те, кто считает, что Петя прав, и те, что полагает, что он не прав, и те, кто рассмотрел оба подхода, и те (нашлись и такие дипломаты), кто не упомянул вопрос о Петиной правоте в своем решении. Главное, чтобы в решении было показано, что представлений каждого вида поровну. 

В большинстве решений строилась биекция между множествами представлений. При этом одни конкурсанты строили биекцию между исходными множествами, другие - между их дополнениями, третьи - между теоретико-множественными разностями исходных множеств. В приводимых решениях отражены и иные подходы.

Я не поощрял дополнительными баллами очевидные обобщения, в которых 3 заменено произвольным натуральным числом. А вот более хитрые изыскания Мераба и Анатолия отметил.

**Награды**

За решение задачи ММ267 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ 
Анатолий Казмерчук - 9;\\
Мераб Левиашвили - 9;\\
Василий Дзюбенко - 7;\\
Денис Овчинников - 7;\\
Владислав Франк - 7;\\
Александр Романов - 7;\\
Константин Шамсутдинов - 7;\\
Виктор Филимоненков - 7;\\
Олег Полубасов - 7;\\
Владимир Дорофеев - 7.

**Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла**
----