===========ММ271===============

**Конкурсная задача ММ271** (3 балла)

Помогите Васе\\
Вася хочет найти натуральное число n, обладающее следующими свойствами:\\
1) наивысший показатель степени в каноническом разложении n равен 1;\\
2) наивысший показатель степени в каноническом разложении n+1 равен 2;\\
3) наивысший показатель степени в каноническом разложении n+2 равен 3;\\
4) наивысший показатель степени в каноническом разложении n+3 равен 4.\\
Существуют ли такие числа?

**Решение** 

Привожу решения {{:marathon:mm271_ovchinnikov.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:marathon:mm271_extend.pdf|Василия Дзюбенко}}.

**Обсуждение**

Локальные причины, о которых я не хочу распространятся, и глобальные обстоятельства, о которых итак все знают, привели к ожидаемому оттоку конкурсантов.
Впрочем, массового характера эта "усушка" не носит.

Первая задача XXVIII конкурса запланированно не вызвала затруднений. Но это не значит, что не было неожиданностей. Главная из них - далеко не все конкурсанты (всего двое) нашли наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию. В то время как задачка была придумана именно ради него.
Зная, что старт конкурса будет приурочен к новогодним праздникам, я стремился придумать задачу, где число 2022 не просто будет фигурировать в условии, а будет играть особую роль. Разумеется, чисел с требуемыми свойствами бесконечно много, но 2022 не просто одно из них, а наименьшее такое число.

Последовательность "Васиных" чисел есть в OEIS (A176913).   

Изменения в правилах, при которых обобщения и аналоги задачи, как правило, не поощряются дополнительными баллами, позволили мне лишь по диагонали посмотреть присланное Василием Дзюбенко доказательство бесконечности множества искомых чисел. Желающие могут изучить его более внимательно.
Если к условиям ММ271 добавить требование "наивысший показатель степени в каноническом разложении n+4 равен 5" , то наименьшим подходящим числом будет 5095949.
КТО позволяет легко найти числа, для которых, наряду с вышеперечисленными, выполнено условие "наивысший показатель степени в каноническом разложении n+5 равен 6". Одним из таких чисел (не обязательно наименьшим) будет 3247538747. 4044491827309371 открывает аналогичную цепочку уже из 7 чисел.
Вслед за Владом Франком и Мерабом Левиашвили, я уверен, что существуют подобные цепочки последовательных натуральных чисел любой наперед заданной длины.

Эстетическая оценка ММ271 невысока. Вполне соглашаясь с тем, что задача вполне рутинна, я все же рассчитывал на дополнительные баллы, за наименьшее подходящее число. Но одни конкурсанты его не заметили, а другие не оценили.

**Награды**

За решение задачи ММ271 Владимир Дорофеев, Владислав Франк, Василий Дзюбенко, Виктор Филимоненков, Денис Овчинников, Константин Швмсутдинов и Мераб Левиашвили получают по 3 призовых балла:

**Эстетическая оценка задачи - 3.3 балла**