===== ММ273 =====

**Конкурсная задача ММ273** (7 баллов)

**Центр на стороне**

В каком диапазоне может изменяться каждый из углов треугольника (α≤β≤γ), у которого центр окружности 9 точек принадлежит, по крайней мере, одной из сторон?


**Решение** 

Привожу решения {{:marathon:mm273_dziubenko.pdf|Василия Дзюбенко}}, {{:marathon:мм273_решение_м.л.docx|Мераба Левиашвили}} и {{:marathon:мм273_fiviol.docx|Виктора Филимоненкова}}.

**Обсуждение**

ММ273 наконец-то привела к разнообразию оценок. Но гораздо ценнее разнообразие подходов. Все присланные решения существенно различаются. Причем ответом отличается только одно :-)  Остальные отличия связаны с различием: свойств окружности 9 точек, использованных в решениях; методов (координаты, тригонометрия, дополнительные построения); полнотой и строгостью обоснований.

В текущем конкурсе Марафон впервые проходят по правилам, при которых обобщения и аналоги поощряются дополнительными баллами только в порядке исключения. Однако пункт о поощрении участников за красоту и изящество решений никто не отменял. Чем я и воспользовался. 

Мне больше других понравились решения Мераба Левиашвили и Василия Дзюбенко. Однако дополнительный балл Василия нивелирован баллом, вычтенным за один нюанс (Василий сам называет этот момент в своем решении словом "нюанс"): те условия, которые вывел Василий в первой части решения, действительно являются не только необходимыми, но и достаточными для принадлежности центра окружности 9 точек одной из сторон; но те условия, которые сформулированы в итоге, конечно же, достаточными не являются.    

Выношу эти решения на суд участников и болельщиков. Было бы интересно услышать ваши мнения. 

**Награды**

За решение задачи ММ273 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:\\
Мераб Левиашвили - 8;\\
Василий Дзюбенко - 7;\\
Виктор Филимоненков - 7;\\
Денис Овчинников - 7;\\
Константин Шамсутдинов - 6;\\
Владимир Дорофеев - 5;\\ 
Владислав Франк - 4.

**Эстетическая оценка задачи - 4.2 балла**