=====ММ39=====
**Конкурсная задача ММ39** (8 баллов)
Эта задачка перекликается с задачей №29.\\
В качестве основания системы счисления рассматриваются натуральные числа, большие 1.
Назовем число "полукубическим", если, приписывая его себе, получим куб некоторого натурального (натуральный ряд начинается с 1).\\
1) Доказать, что существует бесконечно много g таких, что в системе счисления с основанием g существуют полукубические числа. (1 балл)\\
2) Привести пример таких a и g, что в системе счисления с основанием g число a будет трехзначным полукубическим числом. (2 балла)\\
3) Доказать, что существует бесконечно много g таких, что в системе счисления с основанием g существуют двузначные полукубические числа. (5 баллов)
**Решение**
1. Число, записанное двумя единицами в системе счисления с основанием g = a3 - 1, будет полукубическим.
2. Например, число 573 в восьмеричной системе счисления записывается цифрами 5 5 1 5 5 1.
3. Известно, что уравнение x2 - 2y2 = -1 имеет бесконечно много решений в натуральных числах. (Легко показать, что пара (xn, yn) будет его решением тогда и только тогда,
когда xn + yn√2 = (1 + √2)2n-1.)
Таким образом, имеется бесконечно много соотношений типа:
72 + 1 = 2*52
412 + 1 = 2*292
2392 + 1 = 2*1692
...............
xn2 + 1 = 2yn2
...............
Но каждое из этих соотношений дает двузначное полукубическое число. Таковым будет число 4yn, записанное в системе счисления с основанием xn.
В самом деле, 4yn двузначно, поскольку xn < 4yn < xn2. В то же время, приписывая число 4yn, записанное в системе c основанием xn, к себе, получим число
(xn2 + 1)*4yn = (2yn)3.
**Обсуждение**
Можно явно указать цифры двузначных полукубических чисел, построенных в приведенном решении.
Первая цифра всегда будет 2, а вторая определяется рекуррентно: b0 = 2, b1 = 6, bn = 6bn-1 - bn-2.
Любопытно, что последовательность xn составляют взятые через один элементы последовательности f(n) из задачи MM38.
Разумеется, двузначные полукубические числа не исчерпываются построенными. Существуют другие двузначные полукубические числа при g = xn.
Можно получать другие бесконечные серии, стартуя с уравнения x2 - d*y2 = -1, и взяв другие (отличные от двойки) d.
Можно строить серии, отталкиваясь не от уравнения Пелля, а от леммы Гензеля. Этим путем пошли Влад Франк и Мигель Митрофанов. (Решение Ивана Козначеева похоже на решение автора.)
Мне неизвестно, существуют ли полукубические числа в системе счисления с заданным основанием g. В частности, я не знаю, существуют ли десятичные полукубические числа.
Обобщение задач ММ29 и ММ39 приведено в обсуждении задачи ММ209.
**Награды**
За правильное решение задачи Влад Франк, Мигель Митрофанов и Иван Козначеев получают по 8 призовых баллов.
----