=====ММ44=====

**Конкурсная задача ММ44** (3 балла)

Решить в натуральных числах:\\
x<sup>y</sup> = (x + y)<sup>x</sup> (1)

**Решение**

Ясно, что y > x > 1 (натуральный ряд начинается с 1).\\
Пусть простое число p входит в каноническое разложение x в степени s, а в каноническое разложение x+y - в степени t.
Приравнивая показатели p в левой и правой частях (1), получаем пропорцию s/t = x/y. Поскольку это отношение одинаково для всех простых делителей, x и x+y являются натуральными степенями одного и того же натурального числа a. Пусть x = a<sup>m</sup>, x+y = a<sup>n</sup>. Обозначим k = n-m.
На основании (1) имеем a<sup>m(a^n - a^m)</sup> = a<sup>na^m</sup>. Следовательно, m(a<sup>k</sup> - 1) = n = m + k. Т.е. m = k/(a<sup>k</sup> - 2).
В силу того что экспонента растет быстрее линейной функции, последее равенство может выполняться для натуральных a, m, k лишь при небольших значениях.\\
При a = 4 a<sup>k</sup>-2 > k уже при k = 1.\\
При a = 2 годится k = 2, откуда m = 1, n = 3, x = 2 и y = 6.\\
При a = 3 подходит k = 1, откуда m = 1, n = 2, x = 3 и y = 6.\\
Ответ: {(2, 6), (3, 6)}

**Награды**

За правильное решение этой задачи Олег Полубасов, Константин Кноп, Владимир Трушков, Андрей Богданов, Андрей Винокуров, Александр Прудаев, Андрей Бежан, Влад Франк и Владимир Марунин получают по три призовых балла.

**Эстетическая оценка задачи - 2.8 балла**