===== №67 =====

 Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды:
В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе логических задач.


** Конкурсная задача №67 (Л-4) ** (7 баллов) 

Четверо братьев (Джан, Джин, Джон и Джун ) поймали чужеземца, забредшего в
их страну, где каждый обитатель был либо рыцарем, либо лжецом, и привели на 
суд к своему отцу.
Их отец произнес такую речь:
- В нашей стране мы терпимо относимся и к рыцарям, и к лжецам, но очень не
любим дураков. Ты должен отгадать сколько мне лет, услышав по две подсказки
от каждого из моих сыновей, тогда я отпущу тебя на все четыре стороны. 
Если же ты ошибешься, будешь рабом на моей плантации -  глупцы не достойны 
лучшей участи. Но учти, среди моих сыновей могут оказаться как рыцари, 
так и лжецы.
- А сам-то, кто будешь? - спросил путник -    Можно ли тебе доверять?
- Если я рыцарь, то я рыцарь, а уж если лжец, то лжец - ответил глава 
семейства - Слушай подсказки.

Джан: n составное.\\
Джин: если n составное, то  Джан - рыцарь.\\
Джон: если n > 92, то n < 67.\\
Джун: n > 93 \\
Джан: n + 10 простое.\\
Джин: 2n + 1 составное.\\
Джон: если n + 10 простое, то и n + 20 простое.\\
Джун: n не больше суммы квадратов своих цифр.\\

Помогите путнику выбраться на свободу.
 
Пpимечания:
Возраст отца - натуральное число, обозначенное для краткости через n. 
Напомню, что задачах такого типа лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят 
правду.


**//Решение//**

Из речи отца семейства (в частности, из последней фразы) ясно, что он рыцарь.

Из первых реплик Джана и Джина вытекает, что Джин - рыцарь (Джан при этом
может быть кем угодно). Значит, число 2n+1 - составное. (1)\\
Из реплик Джана ясно, что среди чисел n и n+10 ровно одно составное. (2)

Допустим, что Джун рыцарь. Тогда n больше 93 и не больше суммы квадратов своих
цифр. Таких чисел всего шесть (легко убедиться, что трех- и более значные
числа всегда больше суммы квадратов цифр), но среди них нет ни одного, 
одновременно удовлетворяющего условиям (1) и (2).

Значит Джун Лжец. Поэтому n не превосходит 93 и больше суммы квдратов своих
цифр. Среди таких чисел условиям (1) и (2) удовлетворяют всего три числа
71, 91 и 93.\\
Если n = 91, то первая фраза Джона истинна (как импликация с ложной посылкой),
а вторая ложна.\\
Если n = 93, то наоборот, вторая фраза Джона истинна, а первая ложна.
И лишь при n = 71 обе фразы Джона имеют одинаковые истинностные значения 
(истина). 
 
Таким образом, отцу семейства 71 год.\\
Кроме того, ясно, что Джин и Джон - рыцари, а Джан и Джун - лжецы. 

**//Обсуждение//**

Некоторые конкурсанты, предложившие решения, аналогичные приведенному,
дополнили его проверкой, подставвив 71 во все реплики братьев.
Этот шаг не является необходимым, поскольку при отсечении остальных ответов
были использованы все реплики.

Как и ожидалось, ряд конкурсантов "споткнулись" об импликацию, понимая
утверждение "Если А, то В", как "А и В".  

Недостатком задачи является возможность решить ее переборно.
Для этого надо, исходя из реплик Джуна, сделать вывод, что n не более чем
двузначно, а затем просто подставить каждое из чисел, меньших 100, в каждую
из реплик. 71 - единственное число, при котором обе реплики каждого из 
братьев будут иметь одинаковые истинностные значения. 

**//Награды//**

За правильное решение этой задачи //Сергей Аракчеев, Андрей Богданов, 
Стас Грицюк, Константин Кноп, Евгений Машеров, Дмитрий Милосердов,
Олег Полубасов, Татьяна Шемелова, Виктор Филимоненков и Владислав Франк// 
получают по //7// призовых баллов. //Алексей Кутузов// получает //4//,// Алекс Кочарин - 3//, 
а //Олег Чечулин 2// призовых балла.

**//Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла//**