===== №80 =====

**Конкурсная задача №80** (7 баллов)   

Для произвольного треугольника обозначим через S, S1, S2 и S3 площади
исходного треугольника и треугольников, составленных соответственно из
медиан, биссектрис и высот исходного треугольника (при условии, что эти 
треугольники существуют).\\
Могут ли числа S, S1, S2 и S3 образовывать арифметическую прогрессию.

Примечания:
1. Прогрессию с нулевой разностью не предлагать.\\
2. Решая эту задачу, я прибегал к помощи математических пакетов.

** Решение **

Пусть O - точка пересечения медиан AK, BL и CM треугольника ABC и 
N - середина AO. Тогда треугольник MON подобен треугольнику из медиан с
коэффициентом подобия 1/3. Поэтому его площадь - S1/9.\\
В то же время, легко видеть, что площадь MON равна S/12.\\
Таким образом для любого треугольника S1 = 0,75*S.

Поскольку в произвольном треугольнике высоты не превосходят соответсвующих
биссектрис, а биссектрисы - соответсвующих медиан, логично (больший периметр,
конечно, не гарантирует большей площади, но способствует ее увеличению) искать 
треугольник, у которого S = 4*S3, S1 = 3*S3 и S2 = 2*S3.

Введем декартову систему координат и зафиксируем вершины A(-1; 0) и B(1; 0).
Выбирая вершину C(x; y) из области D, задаваемой условиями\\
x ≥ 0, y > 0, 2x + x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> ≤ 3,
получим по одному представителю из каждого класса подобных треугольников.

Ясно, что S, S1, S2 и S3 - непрерывные функции от x и y (разумеется, S2 и S3
определены не на всей D, т.к. треугольникииз биссектрис и высот существуют не
для любого треугольниа).\\ 
Условия  S2/S = 1/2 и S3/S = 1/4 задают в D некоторые непрерывные кривые.
Нам надо выяснить, пересекаются ли эти кривые.

Заметим, что выражения S2/S = 1/2 и S3/S = 1/4 задают не просто кривые, 
некоторые функциональные зависимости y от х.\\ 
В самом деле, при фиксированном х с ростом y (в пределах области D) больший 
угол (напротив большей стороны AB) треугольника ABC уменьшается, оставаясь
при этом бОльшим, а остальные углы растут, что приближает треугольник к 
равностороннему, в котором S2/S и S3/S максимальны и равны 3/4.\\
Поэтому для фиксированного x S2/S может не более одного раза принимать 
значение 1/2, а S3/S - значение 1/4. Заметим также, что на промежутке (0; 3/4)
определены обе эти функции. 

Возьмем C<sub>1</sub>(0.05; 0.2), C<sub>2</sub>(0.2; 0.4).\\
S2(C<sub>1</sub>)/S(C<sub>1</sub>) = 0.6034... > 1/2, а  S3(C<sub>1</sub>)/S(C<sub>1</sub>) = 0.1867... <1/4.
Таким образом, точка C<sub>1</sub> лежит выше графика S2/S = 1/2 и ниже графика S3/S = 1/4. 
S2(C<sub>2</sub>)/S(C<sub>2</sub>) = 0.3929... < 1/2, а  S3(C<sub>2</sub>)/S(C<sub>2</sub>) = 0.2784... > 1/4.                        
Поэтому точка C<sub>2</sub> лежит ниже графика S2/S = 1/2 и выше графика S3/S = 1/4.\\                             
Учитывая непрерывность, заключаем, что найдется точка С (с абсциссой большей
0.05 и меньшей 0.2), для которой числа S, S1, S2 и S3 образуют убывающую
арифметическую прогрессию с разностью -1/4.

** Обсуждение **

В решении не приведены явные выражения для S, S1, S2 и S3. Два первых 
находятся тривиально: S = y; S1 = 3y/4. А вот выражения для S3 и особенно
S2 весьма громоздки, хотя в идейном плане их нахождение затруднений не
вызывает (найти высоты и биссектрисы треугольника ABC, а затем применить
формулу Герона). Именно для явного выражения S2 и S3, а также построения
кривых типа S2/S = 1/2 и численного нахождения точек их пересечения я
прибег к помощи мат. пакетов. Решение Виктора Филимоненкова, найденное 
вручную и лишь в деталях отличающееся от моего, показывает, что использование
компьютера лишь экономит время, но не является необходимой составляющей. 

Искомый треугольник получается при C(0.115544...; 0.292763...).
С точностью до подобия, он единственный.

{{ :marathon:pic80_.gif}}

На рисунке черными линиями ограничены область D и сам искомый треугольник.
Г.м.т. вершин С, для которых определены треугольники из высот, занимает часть D,
расположенную выше и левее красной пунктирной линии. Красная сплошная линия -
г.м.т., для которых S3/S = 1/4. Аналогичный смысл, но для треугольников
из биссектрис, имеют сиреневые линии.

Числа S, S1, S2 и S3, взятые в ином порядке, арифметическую прогрессию 
образовывать не могут: S2 и S3 не могут превосходить S1; S3 же может быть
вдвое больше S2. но лишь для значений S2, гораздо меньших S/4.

С точностью до подобия существует единственный треугольник, для которого
числа S, S1, S2 и S3 образуют геометрическую прогрессию. Он получится,
если взять С(0.30904...; 0.71221...).


** Награды **

За правильное решение этой задачи Виктор Филимоненков и Анатолий Казмерчук
получают по 7 призовых баллов.


** Эстетическая оценка задачи - 5 баллов **