===== №86 =====

**Конкурсная задача №86** (6 баллов)   

При каком соотношении между числами a, b, c, d прямоугольник со сторонами c, d
можно накрыть прямоугольником со сторонами a, b.

Примечание:\\
Для придания однотипности ответам договоримся считать, что a ≥ b и c ≥ d.

** Решение **

Если b < d, то требуемое расположение прямоугольников, очевидно невозможно.
Если c ≤ a и d ≤ b, то решение очевидно.

Остается рассмотреть случай d < b ≤ a < c.
 
Будем называть прямоугольник со сторонами c, d длинным, а со сторонами a, b -
широким.\\ 
Пусть длинный прямоугольник можно разместить в широком. Тогда, очевидно, 
возможно размещение, при котором центры прямоугольников совпадают.
Повернем длинный прямоугольник относительно общего центра O так, чтобы его 
вершины можно было расположить на сторонах широкого прямоугольника после 
гомотетии с центром O и коэффициентом k.\\ 
Обозначим через x и y отрезки, отсекаемые на сторонах a и b соответственно
стороной kd прямоугольника гомотетичного длинному.
Имеем:\\
x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = (kd)<sup>2</sup>\\
(a-x)<sup>2</sup> + (b-y)<sup>2</sup> = (kc)<sup>2</sup>\\
x/y = (b-y)/(a-x)\\
Из этой системы получим\\
k<sup>2</sup> = [(ac-bd)<sup>2</sup> + (bc-ad)<sup>2</sup>]/(c<sup>2</sup> - d<sup>2</sup>)<sup>2</sup>.\\
Ясно, что требуемое расположение возможно, когда k ≥ 1.
Поэтому в нетривиальном случае необходимое и достаточное условие требуемого 
расположения:\\ 
(ac-bd)<sup>2</sup> + (bc-ad)<sup>2</sup> ≥ (c<sup>2</sup> - d<sup>2</sup>)<sup>2</sup>.   (*)


** Обсуждение **

Существует много других способов плучить требуемое соотношение между
a, b, c и d. Вот один из тах способов, предложенный Олегом Полубасовым:

"Рассмотрим бесконечную вертикальную полосу шириной a.
При горизонтальной ориентации стороны c прямоугольник cd не вмещается
в полосу, а при вертикальной - вмещается, значит существует 
наименьший угол между стороной c и осью абсцисс, при котором 
прямоугольник cd вмещается в полосу. Проще всего этот угол вычислить 
как сумму двух углов: угла φ<sub>1</sub> между диагональю меньшего 
прямоугольника и осью абсцисс и половины угла 2*φ<sub>2</sub> между 
диагоналями меньшего прямоугольника.

Аналогично, рассмотрим бесконечную горизонтальную полосу шириной b.
При вертикальной ориентации стороны c прямоугольник cd не вмещается
в полосу, а при горизонтальной - вмещается, значит существует наименьший
угол между стороной c и осью ординат, при котором прямоугольник
cd вмещается в полосу. Проще всего этот угол вычислить как сумму
двух углов: угла φ<sub>3</sub> между диагональю меньшего прямоугольника и осью
ординат и половины угла 2*φ<sub>2</sub> между диагоналями меньшего прямоугольника.

φ<sub>1</sub> = arccos(a/√(c<sup>2</sup>+d<sup>2</sup>))\\
φ<sub>2</sub> = arccos(c/√(c<sup>2</sup>+d<sup>2</sup>))\\
φ<sub>3</sub> = arccos(b/√(c<sup>2</sup>+d<sup>2</sup>))

Меньший прямоугольник вмещается в больший тогда и только тогда,
когда сумма этих углов не превышает прямого.

φ<sub>1</sub> + 2*φ<sub>2</sub> + φ<sub>3</sub> ≤ Π/2

На мой взгляд, это неравенство более красиво, чем неравенство
из первого способа, но зато трансцендентно. От трансцендентности
можно избавиться, заменив сумму арккосинусов одним арккосинусом,
а затем заметив, что на интересующем нас промежутке арккосинус
монотонно убывает, но после долгих преобразований придём как раз
к формуле (*)"


Существует и еще несколько альтернативных подходов. Интересно, что некоторые
из них приводят к соотношениям, которые не так-то просто преобразовать в (*).
Вот пример такого подхода:

Пусть ABCD - широкий прямоугольник (AB = a, AD = b), а KLMN - длинный 
прямоугольник (KL = c, KN = d).\\ 
Введем систему координат с началом в A, направив ось абсцисс по AB, а ось 
ординат - по AD. Пусть K дежит на стороне AB, а N - на стороне AD 
и координаты точки M положительны.\\ 
Точка K имеет координаты (x; 0), N - (0; y), где y = √(c<sup>2</sup> - x<sup>2</sup>), 
0 ≤ x ≤ d.\\
Тогда абсцисса точки L -  x+cy/d, а ордината точки M - y+cx/d.
Обозначим f(x) = a - x - cy/d,  g(x) = b - y - cx/d.
В ситуации, когда d < b <= a < c,  f(0) < 0, f(d) > 0,  g(0) > 0, g(d) < 0,
причем f(x) сначала немного убывает, а затем возрастает, а g(x) сначала 
убывает, а затем чуть-чуть возрастает. Тогда уравнение f(x) = g(x) имеет 
единственное решение на отрезке 0 ≤ x ≤ d\\
x<sub>0</sub> = (b-a+√(2*(c-d)<sup>2</sup>-(a-b)<sup>2</sup>))*d/2(c-d).
Для выполнения требования задачи необходимо и достаточно 
соотношения f(x<sub>0</sub>) ≥ 0.
Однако мне не удалось доказать равносильность этого неравенства с 
вложенными радикалами условию (*).   

** Награды **

За правильное решение задачи 86 Олег Полубасов, Анатолий Казмерчук и
Николай Дерюгин получают по 6 призовых баллов. 


** Эстетическая оценка задачи - 4 балла **


----