===== №89 =====

**Конкурсная задача №89** (5 баллов)   

Для каждого натурального n определим функцию f(n) так.
f(n) = k, если:\\ 
1) на плоскости можно расположить k попарно различных точек так,
чтобы множество всевозможных попарных расстояний между этими точками
содержало ровно n элементов;\\
2) для любого бОльшего числа точек подобное расположение невозможно.

1. Доказать, что f(n) ≥ 2n+1.\\
2. Может ли f(n) быть строго больше 2n+1?


** Решение **

Для обоснования пункта 1 достаточно расположить 2n+1 точек в вершинах 
правильного многоугольника.

В правильном шестиугольнике проведем большие диагонали и параллельные 
им отрезки, проходящие через середины сторон. Точки пересечения проведенных
отрезков вместе с вершинами и серединами сторон исходного шестиугольника 
образуют систему из 19 точек, множество попарных расстояний между которыми
содержит всего 8 элементов. Если сторона исходного шестиугольника равна 2,
то множество квадратов попарных расстояний состоит из чисел 1, 3, 4, 7, 9,
12, 13, 16.  


** Обсуждение **

Анатолий Казмерчук предложил обобщение примера ко второму пункту задачи.
В правильном шестиугольнике со стороной m разобьем каждую сторону на m частей 
и через точки разбиения проведем отрезки, параллельные большим диагоналям и
сами эти диагонали.\\ 
Получившаяся треугольная сетка содержит 3m<sup>2</sup> + 3m + 1 узел, а множество
попарных расстояний между этими узлами - m<sup>2</sup> + 2m чисел. С ростом m отношение
этих чисел стремится к 3. Поэтому f(n)/n может принимать значения сколь угодно
близкие к 3.


** Награды **

За правильное решение задачи 89 и дополнительное исследование пункта 2 
Анатолий Казмерчук получает 7 призовых баллов.
Олег Полубасов получает 3 призовых балла. 


** Эстетическая оценка задачи - 5 баллов **
----