====== Математический марафон ====== {{ :marathon:konkurs.gif}} * [[rules]] * [[rating]] * [[archive]] ---- **Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона** **Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию** Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. Ведущий Марафона --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// [[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]] ---- ====== Текущие задачи ====== ---- **На данный момент отсутствуют.** ---- ====== Разбор задач ====== ---- ===== Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f3, f4, …, fs], где fi – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(fi) = m. ---- **Конкурсная задача ММ270** (16 баллов) Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m. **Решение** Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} . **Обсуждение** В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ. Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения. Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза). **Награды** За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ Мераб Левиашвили - 18;\\ Олег Полубасов - 16;\\ Анатолий Казмерчук - 16;\\ Александр Романов - 16;\\ Константин Шамсутдинов - 10;\\ Виктор Филимоненков - 10;\\ Денис Овчинников - 8.\\ Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла ---- ===== ММ269 ===== **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов) Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\ a) класса 3;\\ b) класса 4? **Решение** Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}. **Обсуждение** Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе. Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц. Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\ Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении). **Награды** За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ Олег Полубасов - 18;\\ Мераб Левиашвили - 16;\\ Анатолий Казмерчук - 13;\\ Константин Шамсутдинов - 13;\\ Василий Дзюбенко - 11;\\ Александр Романов - 11;\\ Виктор Филимоненков - 11;\\ Денис Овчинников - 7. **Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** ---- ===== ММ268 ===== **Конкурсная задача ММ268** (9 баллов) Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел? Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7. [[problem 268|Решение задачи ММ268]] ---- ===== ММ267 ===== **Конкурсная задача ММ267** (7 баллов) Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав? [[problem 267|Решение задачи ММ267]] ---- ===== ММ266 ===== **Конкурсная задача ММ266** (7 баллов) Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\ 1) τ(n3 )=τ(n)2, где n – произведение всех выписанных чисел;\\ 2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи. Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения. [[problem 266|Решение задачи ММ266]] ---- ===== ММ265 ===== **Конкурсная задача ММ265** (5 баллов) Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны. [[problem 265|Решение задачи ММ265]] ---- ===== ММ264 ===== **Конкурсная задача ММ264** (4 балла) Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b) и φ(a+b)=φ(a)+φ(b). Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\ (τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.) [[problem 264|Решение задачи ММ264]] ---- ===== ММ263 ===== **Конкурсная задача ММ263** (4 балла) Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\ ([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.) [[problem 263|Решение задачи ММ263]] ---- ===== ММ262 ===== **Конкурсная задача ММ262** (3 балла) Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне. Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-) [[problem 262|Решение задачи ММ262]] ---- ===== ММ261 ===== **Конкурсная задача ММ261** (4 балла) Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток. [[problem 261|Решение задачи ММ261]] ---- ~~NOTOC~~