====== Математический марафон ======
{{ :marathon:konkurs.gif}}
* [[rules]]
* [[rating]]
* [[archive]]
----
**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
**Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.
Ведущий Марафона
--- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
----
====== Текущие задачи ======
----
**На данный момент отсутствуют.**
----
====== Разбор задач ======
----
=====
Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f3, f4, …, fs], где fi – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(fi) = m.
----
**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
**Решение**
Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
**Обсуждение**
В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).
**Награды**
За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
Мераб Левиашвили - 18;\\
Олег Полубасов - 16;\\
Анатолий Казмерчук - 16;\\
Александр Романов - 16;\\
Константин Шамсутдинов - 10;\\
Виктор Филимоненков - 10;\\
Денис Овчинников - 8.\\
Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
----
===== ММ269 =====
**Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\
a) класса 3;\\
b) класса 4?
**Решение**
Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
**Обсуждение**
Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.
Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится!
В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\
Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении).
**Награды**
За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
Олег Полубасов - 18;\\
Мераб Левиашвили - 16;\\
Анатолий Казмерчук - 13;\\
Константин Шамсутдинов - 13;\\
Василий Дзюбенко - 11;\\
Александр Романов - 11;\\
Виктор Филимоненков - 11;\\
Денис Овчинников - 7.
**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
----
===== ММ268 =====
**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?
Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
----
===== ММ267 =====
**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
----
===== ММ266 =====
**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\
1) τ(n3 )=τ(n)2, где n – произведение всех выписанных чисел;\\
2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\.
Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи.
Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
----
===== ММ265 =====
**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
----
===== ММ264 =====
**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b) и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).
Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
----
===== ММ263 =====
**Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
----
===== ММ262 =====
**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.
Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне.
Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
[[problem 262|Решение задачи ММ262]]
----
===== ММ261 =====
**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
----
~~NOTOC~~