====== Конкурс вне Конкурса ====== В каждой задаче тематического конкурса требовалось указать правило, по которому строится данная последовательность натуральных чисел. Цена задания определялась в зависимости от количества участников, справившихся с ним. ---- ** Условия, Решение и Обсуждение ** 1) 6, 15, 35, 77, 91, 143, 187, 209,... Эта последовательность планировалсь как утешительная (утешились не все ;) ) Но есть один нюанс: существует, как минимум, два вполне естественных описания, приводящих к похожим, но разным продолжениям. а) произведения pq двух простых чисел, таких что p < q < 2p б) для каждого из последовательных простых чисел p, выписываются его произведения на простые числа q, превосходящие p, не более, чем в 2 раза. Может показаться, что оба описания задают одну и ту же последовательность, но на самом деле последовавательности a) и б) будут отличаться порядком членов.\\ Так, продолжение а) - 221, 247, 299, 323, 391, 437, 493, 527,...\\ А продолжение б) - 221, 247, 299, 323, 391, 493, 527, 437,... Конкурсанты предлагали и вариант а), и вариант б). Но никто из них не описал оба продолжения (и не получил дополнительных баллов). Зато встречались описания, не соответствующие приведенным членам :) Цена задачи - 5 баллов ---- 2) 1, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 4, 4, 2, 7, 5, 4, 6, 6, 2, 12, 7, 6, 8, 8, 4, 15, 9, 6, 13,... Это последовательность троек чисел: f(3n-2) = n, f(3n-1) = φ(n), f(3) = σ(n), где φ(n) - функция Эйлера, а σ(n) - сумма натуральных делителей. Цена задачи - 6 баллов ---- 3) 71, 431, 719, 1511,... Эта последовательность допускает несколько описаний, чем и не преминули воспользоваться конкурсанты. При этом авторского описания (простые числа на 10 меньшие квадратов) не предложил никто. Зато были предложены варианты "простые числа вида 36*n*(n+1)-1" и "простые числа, представимые в виде n*(n+4)-6", равносильные авторскому решенеию, а также вариант "простые числа вида 72*n-1, при удалении последней цифры которых они остаются простыми", приводящей к другой последовательности с тем же началом. Цена задачи - 6 баллов ---- 4) 136, 244, 2178, 6514, 58618, 76438,... Последовательность состоит из пар чисел: 1³ + 3³ + 6³ = 244, 2³ + 4³ + 4³ = 136;\\ 2⁴ + 1⁴ + 7⁴ + 8⁴ = 6514, 6⁴ + 5⁴ + 1⁴ + 4⁴ = 2178;\\ 5⁵ + 8⁵ + 6⁵ + 1⁵ + 8⁵ = 76438, 7⁵ + 6⁵ + 4⁵ + 3⁵ + 8⁵ = 58618.\\ Дальше идут числа 2755907 и 6586433, равные суммам 7-х степеней цифр друг друга. Эта последовательность предложена Эдвардом Туркевичем. Было это еще в октябре и мне, казалось, что еще тогда я проверил ее на предмет наличия в OEIS. Но только казалось :( Данная последовательность имеется в OEIS по номером A101335. Цена задачи - 5 баллов (с учетом наличия в OEIS) ---- 5) 2, 5, 11, 19, 30, 44, 62, 85, 115, 155, 210, 288,... f(n) = n² + F(n), где F(n) - n-е число Фибоначчи. В первоначальное условие этого задания вкралсь ошибка. Но это не помешало Матвею Котову справиться с заданием, а заодно указать мне на допущенный ляп и получить бонусные баллы (решившие, в итоге, судьбу первого места). Цена задачи - 6 баллов ---- 6) 1, 3, 13, 61, 321,... Эта последовательность оказалась одной из самых интересных. Авторское решение: f(1) = 1, f(n) = n*f(n-1) + (n-1)². Однако возможно и такое описание: f(n) = sum{k=0}{n} {{n!}/{k!}} - n. И даже такое: f(n) = e*Г(n+1,1) - n. Цена задачи - 6 баллов ---- 7) 1, 2, 21, 224, 2521, 31446, 345621, 3845668, 43046721,... Эта последовательность предложена Алексеем Изваловым. Он верно предположил, что ключом к разгадке может стать последнее из приведенных чисел. В самом деле, бросается в глаза, что 43046721 = 3¹⁶. Правда, для понимания принципа образования последовательности важнее, что это 9⁸. А общее правило таково: f(n) есть число n^n-1, записанное в системе счисления с основанием n+1. Цена задачи - 7 баллов ---- 8) 2, 65, 72, 128, 250, 370, 468, 520, 637, 730,... Это числа, каждое из которых представлятся одновременно суммой двух натуральных квадратов и суммой двух натуральных кубов. Цена задачи - 7 баллов ---- 9) 5, 13, 271, 7159,... Я полагал, что два последних задания конкурса практически не берутся. Но недооценил интеллектуальной и компьютерной мощи участников конкурса. В частности, не учел того, что в OEIS имеется возможность искать не только "куски" последовательностей, идущие подряд, но и произвольные подпоследовательности. Последовательность из 9-го задания - это простые числа из A076408. Поясню подробнее. Выпишем натуральные числа, являющииеся нетривиальными (больше первой) степенями натуральных чисел: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36,... Суммируя начальные отрезки этой последовательности будем получать члены A076408. Те из них, которые являются простыми входят в нашу последовательность. Цена задачи - 7 баллов ---- 10) 7, 13, 15, 21, 26, 31, 40, 42, 43, 57, 62, 63, 73, 80, 85, 86, 91, 93, 111, 114, 121,... Это числа, которые в некоторой системе счисления записываются набором из не менее чем трех одинаковых цифр. (Ясно, что двумя одинаковыми цифрами записывается любое число, начиная с 2.) Цена задачи - 7 баллов ---- ** ИТОГИ ** ^ ^ Участники ^ 1 ^ 2 ^ 3 ^ 4 ^ 5 ^ 6 ^ 7 ^ 8 ^ 9 ^ 10 ^ Σ ^ |1.| Матвей Котов | 5 | 6 | 6 | 5 | 8 | 6 | 7 | 7 | 7 | 7 ^ 64^ |2.| Алексей Волошин | 5 | 6 | 6 | 5 | 6 | 6 | 7 | 7 | 7 | 7 ^ 62^ |3.| Николай Дерюгин | 5 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 ^ 17^ |4.| Алексей Извалов | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 7 | 0 | 0 | 0 ^ 12^ |5.| Виктор Филимоненков | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 ^ 11^ |6.| Андрей Халявин | 0 | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 ^ 6 ^ |6.| Владимир Боровских | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 ^ 6 ^ |8.| Эдвард Туркевич | 0 | 0 | 0 | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 ^ 5 ^ |9.| Daogiauvang | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 ^ 2 ^ Учитывая, что первые два призера справились со всеми заданиями и далеко оторвались от преследователей, а также то, что преимущество Матвея перед Алексеем добыто лишь за счет дополнительных показателей, лауретами конкурса объявляются двое: Матвей Котов и Алексей Волошин! Победителям даруется пожизненное право (и почетная обязанность) бесплатного участия во всех последующих турах Математического марафона! :) ----