===== №108 =====

Задачка с антресолей.

** Конкурсная задача ММ108 ** (4 балла)

Однородную пирамиду разрезали на слои равной толщины плоскостями, параллельными
основанию. При каком наименьшем количестве частей их можно будет разложить на
разные чаши равноплечных весов без гирь так, чтобы весы уравновесились?

** Решение **

Приведу решение Алексея Волошина.

Пусть вес самой верхней части (самой маленькой) равен 1. Тогда, из соображений подобия вес первых k частей равен k<sup>3</sup>, а вес k-го слоя равен k<sup>3</sup>-(k-1)<sup>3</sup>.\\ 
Следовательно, вес каждого слоя - целое число. Если их можно разложить на разные чаши равноплечных весов без гирь так, чтобы весы уравновесились, то общий вес пирамиды - чётное число. Следовательно, общее число слоёв должно быть чётно.\\
При разбиении на 2 части на каждую чашу весов необходимо положить вес (2<sup>3</sup>)/2=4, а веса слоёв равны 1 и 7. Вес второго слоя превышает 4, следовательно, уравновесить весы нельзя.\\
При разбиении на 4 части на каждую чашу весов необходимо положить вес (4<sup>3</sup>)/2=32, а веса слоёв равны 1, 7, 19, и 37. Вес четвертого слоя превышает 32, следовательно, уравновесить весы нельзя.\\
При разбиении на 6 частей на каждую чашу весов необходимо положить вес (6<sup>3</sup>)/2=108, а веса слоёв равны 1, 7, 19, 37, 61 и 91. На одну из чаш мы положим последний слой весом 91. Дополнительно на эту чашу нужно положить слои суммарным весом 108-91=17. Но слои весом более 17 мы положить не сможем, а вес всех оставшихся частей равен 1+7=8, т. е. меньше 17. Следовательно, уравновесить весы нельзя.\\
При разбиении на 8 частей на каждую чашу весов необходимо положить вес (8<sup>3</sup>)/2=256, а веса слоёв равны 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127 и 169. Имеем:
1+37+91+127=7+19+61+169=256.\\
Ответ: наименьшее количество слоёв равно 8.

** Обсуждение **

Задача ММ108 имеет интересное обобщение. Порежем n-мерную пирамиду гиперплоскостями,
параллельными гиперплоскости основания на 2<sup>n</sup> слоев равной толщины. Тогда 
т-мерные объемы слоев будут относиться как разности соседних n-x степеней.
Оказывается, при любом n можно разбить полученные слои на два класса по 
2<sup>n-1</sup>
кусков в каждом, так что суммарные n-мерные объемы кусков в классах будут равны.\\
Пронумеруем куски от вершины к основанию числами 0, 1, ..., 2<sup>n-1</sup>.
Соответствующее разбиение задается производящей функцией: 
<m>prod{i=0}{n-1}{(1-x^{2^i})}</m>. Если (после раскрытия скобок) коэффициент при 
соответствуещей степени x положителен помещаем кусок в первый класс, если 
отрицателен - во второй.\\
Альтернативный способ - поместить в первый класс те и только те куски, номера
которых в двоичной записи содержат четное число единиц.

Я надеялся, что участники Марафона выйдут на вышеописанное обобщение и уже 
изготовился щедро раздавать дополнительные призовые баллы. Однако дождался 
лишь намека на обобщение от Тимофея Игнатьева.

Полагаю, эстетическая оценка задачи была бы выше, если бы учаастники Марафона 
оценивали задачу с учетом обобщения на произвольное n.

Для n ≤ 3  2<sup>n</sup> - наименьшее число слоев, удовлетворяющее условию. Будет ли 
оно таковым для бОльших n мне неизвестно. 

** Награды **

За правильное решение задачи ММ108 Тимофей Игнатьев получает 5 призовых баллов, а Виктор Филимоненков, Кирилл Веденский, Алексей Волошин, Николай Дерюгин и Анатолий Казмерчук - по 4 призовых балла. 

** Эстетическая оценка задачи - 3.8 балла **
----