===== №109 =====

** Конкурсная задача ММ109 ** (6 баллов)

Тремя семействами параллельных линий плоскость разрезана на равные треугольники.
Можно ли в каждый труегольник вписать одно из чисел 1, 2, 3 так, чтобы:\\
1) хотя бы в один треугольник была вписана тройка;\\
2) число в каждом треугольнике указывало, сколько различных чисел написано в 
трех треугольниках, имеющих общую сторону с данным?

** Решение **

Требуемое заполнение возможно. Например, замостив плоскоть параллелограммами, выделенными на рисунке Алексея Волошина, получим нужное заполнение.

{{:marathon:109-1.jpg|:marathon:109-1.jpg}}

** Обсуждение **

Существуют принципиально разные способы требуемого заполнения. Так, в решениях большинства участников и ведущего частота единиц двоек и троек прямо пропорциональна номиналу этих цифр, т.е. двойки встречаются в 2, а торйки - в 3 раза чаще единиц.
А в красивом орнаменте Николая Дерюгина (см. рисунок) единицы встречаются в 3 раза реже как двоек, так и троек. 

{{:marathon:109-2.jpg|:marathon:109-2.jpg}}

В задаче Н. Агаханова, послужившей прототипом для ММ109, речь шла о заполнении плоскости, разлинованной в клеточку, числами 1, 2, 3, 4. А решение заключалось в обосновании невозможности такого заполнения.

** Награды **

За правильное решение задачи ММ109 Алексей Волошин, Виктор Филимоненков, Николай Дерюгин и Анатолий Казмерчук получают по 6 призовых баллов. 

** Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла ** 
----