===== №118 =====

Задача о задаче (нестареющая классика на новый лад). 

** Конкурсная задача ММ118 ** (7 баллов)

Ведущий Математического марафона придумал задачу. Но, прежде чем помещать ее в Марафон, он решил протестировать задачу и рассказал ее своему коллеге:

- Бывшие одноклассники Петр и Николай встретились на мероприятии, посвященном 40-ю выпуска из школы, и разговорились.\\
П: Да-а... разбросала нас жизнь, 40 лет тебя не видел и ничего о тебе не слышал. А ведь раньше не разлей вода были, за одной партой сидели. Ну и как ты? Семьей обзавелся?\\
Н: А как же! У меня три красавца сына!\\
П: Ну ты даешь! И сколько же им лет?\\
Н: Надеюсь, ты по-прежнему любишь головоломки? Тогда догадайся сам. Сумма их возрастов равна номеру квартиры, в которой ты жил в школьные годы, а произведение возрастов равно...

... И ведущий Марафона для удобства коллеги написал нужное число на бумажке и продолжил:

- Петр достал ручку и на несколько минут погрузился в вычисления...\\
П: Ты знаешь, этих данных мне мало.\\
Н: Ах, да! Забыл добавить, что среднего я назвал в твою честь.\\
П: Спасибо! Теперь информации достаточно.\\
Сколько лет сыновьям Николая?

Коллега ведущего погрузился в вычисления (более продолжительные, чем Петр из задачи). Но его комментарий, не отличался от комментария Петра:\\
- Ты знаешь, этих данных мне мало - сказал он ведущему Марафона.
- Ах, да! - осознал ошибку ведущий - Тогда пусть Петром зовут не среднего, а старшего сына Николая.
- К сожалению, это не спасет задачу. А вот если Николай назовет Петром своего младшего сына, тогда задача будет иметь единственное решение!

Что за число написал ведущий?

**Решение**

Из реплики Петра следует, что искомое число (n) может быть представлено в виде произведения трех сомножителей, не превосходящих 40, с известной Петру, суммой. 
Причем таких представлений более одного, но только в одном из них имеется среднее по величине число.
На основании комментария коллеги ведущего заключаем, что для искомого произведения таких сумм более одной.
Вот подходящие числа и соответствующие представления:\\
n = 720  (6 + 6 + 20 = 4 + 10 + 18 = 32,  6 + 8 + 15 = 5 + 12 + 12 = 29);\\ 
n = 1008 (6 + 6 + 28 = 3 + 16 + 21 = 40,  8 + 9 + 14 = 7 + 12 + 12 = 31);\\
n = 2800 (8 + 14 + 25 = 7 + 20 + 20 = 47,  10 + 10 + 28 = 7 + 16 + 25 = 48);\\
n = 2880 (6 + 15 + 32 = 5 + 24 + 24 = 53,  12 + 12 + 20 = 10 + 16 + 18 = 44);\\
n = 3600 (10 + 10 + 36 = 6 + 20 + 30 = 56,  10 + 15 + 24 = 9 + 20 + 20 = 12 + 12 + 25 = 49);\\
n = 5760 (12 + 12 + 40 = 8 + 20 + 36 = 64,  12 + 16 + 30 = 10 + 24 + 24 = 58);\\
n = 7200 (10 + 18 + 40 = 8 + 30 + 30 = 68,  15 + 15 + 32 = 12 + 20 + 30 = 62).\\
В шести из семи перечисленных случаев корректировка условия, предложенная ведущим, спасает задачу:\\
При n = 720 информация о наличии старшего позволяет Петру однозначно определить возрасты (6, 8, 15), только если номер квартиры был 29.
Аналогично при n = 1008 ответ - 8, 9, 14;\\
при n =  2800 - 8, 14, 25;\\
при n =  2880 - 6, 15, 32;\\
при n =  5760 - 12, 16, 30;\\
при n =  7200 - 10, 18, 40.\\
И лишь в случае, когда n = 3600, информация о наличии старшего не позволит Петру выбрать единственный вариант.
В то же время, если среди сыновей будет младший, то только при 56-м номере квартиры Петр (а вслед за ним и коллега ведущего) смогут однозначно определить возрасты - 6, 20 и 30. 

Ответ: **3600**

**Обсуждение**

Составляя эту задачу, я то ли слишком вжился в роль путаника-ведущего, то ли просто "накаркал". Но даже количества корректив, внесенных в условие по сюжету задачи и в реальности, совпали :(  :)
В любом случае, я благодарен марафонцам, оперативно обратившим внимание на проколы в условии. 
Первая нестыковка произошла из-за прокола в программке, перебиравшей варианты, а вторая из-за той спешки, с которой я ринулся (не сразу, а лишь обнаружив дырку в программе) исправлять условие.
Полагаю, что итоговый вариант получился красивее (а не только корректнее) предыдущих. Теперь задачка перекликается не только с классической задачей про номер трамвая, но и с чем-то фольклорным (или ершовским). 

Выбор числа 40 в качестве верхней границы возрастов сыновей Николая - довольно естественное (его выбрали практически все участники), но, все же, условное ограничение.
Увеличение этой границы до до сколько-нибудь разумных пределов (вдруг Николай по два года в одном классе сидел) добавляет еще один вариант (n = 6300 (10 + 15 + 42 = 7 = 30 + 30 = 67,  15 + 15 + 28 = 12 + 21 + 25 = 58)). но не нарушает однозначности решения.
И только допущение совсем уж фантастических возрастов сыновей (не менее 50 лет) приводит к дуалям.

По мнению ряда марафонцев недостатком задачи является необходимость перебора. Можно по-разному организовать перебор (перебирать тройки чисел, возможные произведения, допустимые суммы), но обойтись совсем без перебора нельзя.
Не думаю, что в нашу компьютерную эпоху этот недостаток существенен.  

И еще об одномм нюансе: Сергей Половинкин полагает, что, кроме приведенного, задачка имеет вырожденное, нулевое решение.
Аргументация Сергея: Допустим, что Петр знает произведение 0 и сумму 3 или 4. В каждом из этих случаев он сначала не может выбрать из вариантов ( (0,1,2) и (0,0,3) для тройки) и ( (0,1,3), (0,2,2) и (0,0,4) для четверки), а после получения информации о наличии среднего сына выбирает единственный подходящий вариант.
Соответственно, коллега ведущего не в состянии выбрать между вариантами (0,1,2) и (0,1,3). "Замена среднего сына старшим" не дает однозначности, а наличие младшего приводит к единственному варианту (0,1,2).
Я не рассматривал вариант с нулевым произведением, полагая, что достаточной защитой от этого побочного варианта являются следующие моменты в условии:
"ведущий Марафона для удобства коллеги написал нужное число на бумажке", "Петр достал ручку и на несколько минут погрузился в вычисления".
А Алексей Волошин рассмотрел. И забраковал на основании последней реплики коллеги ведущего. Действительно, если произведение возрастов сыновей Николая равно 0, то в случае, когда Петром зовут младшего сына, коллега ведущего получит два подходящих варианта: (0,1,1) и (0,1,2), т.е. решение будет не единственно. 


**Награды**

За решение задачи ММ118 участникам начислены следующие призовые баллы:
Алексей Волошин - 8 призовых баллов;\\
Александр Ларин, Сергей Половинкин, Дмитрий Пашуткин, Эдвард Туркевич и Анатолий Казмерчук - по 7 баллов;\\
Николай Дерюгин - 6 баллов.\\
В этих оценкеах учтены, как поощрительные баллы за "своевременные сигналы", так и вычеты за некоторые шероховатости в решении.

**Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла**
----