===== №123 =====

**Конкурсная задача MM123** (5 баллов)

Квадратная монета со стороной 1 см бросается случайным образом на лист бумаги, разлинованный квадратными 
клетками со стороной 2 см. Какая вероятность того, что монета попадёт целиком в клетку?

**Решение**

Бросание монеты можно описать математически как случайный выбор пары координат x и y, а также угла поворота 
монеты α

Понятно, что можно рассмотреть один квадрат со стороной 2 и координаты центра (точки пересечения диагоналей) 
монеты будут принимать значения от 0 до 2.
Выразим вероятность попадания монеты в ячейку от угла α, который образует её сторона с горизонтальной 
линией разметки.
Всилу симметрии угол α можно выбирать из диапазона от 0 до π/4.

При угле α монету можно вписать в квадрат, со сторонами, параллельными сторонам ячейки и равными sin(α)+cos(α) (такую картинку можно видеть в индийском доказательстве теоремы Пифагора). Центр этого квадрата совпадает с центром монеты. Пересечение описанного вокруг монеты квадрата с ячейкой равносильно пересечению самой монеты с ячейкой.

{{:marathon:mm123.png|:marathon:mm123.png}}

"Бесконфликтная" область для центра монеты будет иметь форму квадрата, расположенного в центре ячейки. Сторона этого квадрата составит 2-sin(α)- cos(α). Тогда вероятность того, что при данном угле α монета попадёт целиком в ячейку, равна отношению площадей "бесконфликтного" квадрата и всей ячейки (2-sin(α)- cos(α))<sup>2</sup>/4

Взяв среднее интегральное этой дроби по α от 0 до π/4, получим вероятность ≈ 0.136

**Обсуждение** 

При упоминании случайного выбора сразу вспоминается  классическая задача о произвольной хорде на окружности, решение которой зависит от того, как именно мы будем выбирать хорду. Здесь же процесс бросания определяется однозначно.

Ещё одна ассоциация с этой задачей - вычисление числа пи, бросая иголку на паркетный пол.

Для подтверждения уверенности в правильности решения можно воспользоваться моделированием процесса на компьютере. Кстати, я сам при её составлении и разработке черновика решения попался на то, что забыл поделить на длину отрезка, на котором берётся интеграл, и только результат моделирования заставил вспомнить об этом. Анализ решений показал, что в этом заблуждении я был не одинок.

Ещё одна причина, не позволившая одному из участников набрать максимальное количество баллов - выбор таких пределов интегрирования α, при которых учитывается возможность пересечения с ячейкой только одной диагонали монеты.

Некоторые участники брали кратные интегралы или разделяли "бесконфликтный" квадрат на области, вычисляя площади каждой из них отдельно, что увеличило число шагов в решении, но не помешало получить правильный ответ.

Собственно задача рождается, если, решив аналогичную задачу о бросании круглой монеты, задуматься: а что будет, если монета квадратная?

**Награды**

За правильное решение этой задачи Сергей Половинкин, Виктор Филимоненков, Эдвард Туркевич, Анатолий Казмерчук, Николай Дерюгин и Дмитрий Пашуткин получают по 5 призовых баллов. Алексей Волошин и Евгений Машеров получают по 3 призовых балла.

**Эстетическая оценка задачи 4.3**

Обзор задачи ММ123 подготовлен **Алексеем Изваловым**


----