===== 154 =====

**Конкурсная задача ММ154** (5 баллов)

Математик D предложил математикам A, B и C следующую задачку:

Я загадал два натуральных числа (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 20. 
Сейчас я сообщу A сумму квадратов, B - произведение, а C - сумму этих чисел, а вы должны будете отгадать эти числа.
Узнав предназначенную информацию математики разговорились.\\
A: Я не знаю этих чисел.\\ 
B: Я тоже их не знаю.\\ 
C: И я не знаю.\\ 
B: Тогда я их знаю.\\ 
C: А я не знаю.\\
А: Зато я узнал их еще до того, как ты в первый раз это сказал.

Что это за числа? 

**Решение**

Из первой реплики А следует, что известное ему число раскладывается в сумму квадратов двух чисел, не превосходящих 20, более чем одним способом. Таких чисел 25, причем два числа 325 и 425 имеют по три представления. Таким образом, после первой реплики А на подозрении 52 пары чисел.
Дальнейший ход решения ясен из таблицы (которую я позаимствовал у Дмитрия Пашуткина):

{{:marathon:mm154.jpg|:marathon:mm154.jpg}}

Комметарии к таблице, на мой взгляд излишни.

Ответ: 4 и 7.

**Обсуждение**

В свое время я был очарован задачкой, при решении которой надо было ставить себя на место персонажей, обладающих информацией, не данной в условии явно. С тех пор я решил и составил немало подобных задач. К сожалению, тем, кто знаком с их логикой, радость открытия уже не светит. Ее заменяет техника перебора и отсечения. Но я постоянно сталкиваюсь с массой людей, для которых подобные задачки в новинку. Им-то, в первую очередь, и адресована ММ154.  

**Награды**

За правильное решение задачи ММ154 Олег Полубасов, Сергей Половинкин, Дмитрий Пашуткин, Евгений Машеорв и Анатолий Казмерчук получают по 5 призовых баллов. Виктор Филимоненков (он потерял одну пару пар с равными произведениями, но это загадочным образом не повлияло на ответ) получает 4 призовых балла, а Александр Князев - 1 призовой балл.

**Эстетическая оценка - 4 балла**

//Разбор задачи ММ154 подготовил Владимир Лецко//

----