===== MM162 =====

** Конкурсная задача ММ162 (РК-2)[/color]** (4 балла)

//По мотивам задачи ММ94// 

Пару различных натуральных чисел a и b назовем похожими, если φ(a)=φ(b), σ(a)=σ(b), τ(a)=τ(b), где φ(n), σ(n) и τ(n), соответственно функция Эйлера, сумма и число натуральных делителей числа n (см. разбор ММ94).
Существуют ли похожие числа a и b такие, что τ(a)=τ(b)=4?

**Решение**

Значение функции τ(n) может равняться 4 в двух случаях: когда n - есть произведение двух различных простых чисел; когда n - куб простого числа.
Ясно, что два различных похожих числа не могут одновременно быть кубами простых чисел. 
Пусть a и b - похожие числа и a=pq, b=rs, где p,q,r,s - различные простые числа. Тогда σ(a)=σ(b) => pq+p+q=rs+r+s и φ(a)=φ(b) => pq-p-q=rs-r-s. Следовательно, pq=rs и p+q=r+s. Т.е. пары чисел p,q и r,s должны быть корнями одного и того же квадратного уравнеия, откуда следует, что a и b совпадают.
Наиболее содержателен случай, когда a=pq, b=r<sup>3</sup>. Имеем: pq+p+q=r<sup>3</sup>+r<sup>2</sup>+r и pq-p-q=r<sup>3</sup>-r<sup>2</sup>-1. Остюда 4pq=4r<sup>3</sup>+2r-2,  2(p+q)=2r<sup>2</sup>+r+1, то есть 2p и 2q должны быть корнями уравнения x<sup>2</sup>-(2r<sup>2</sup>+r+1)x+4r<sup>3</sup>+2r-2=0.
Дискриминант этого уравнения D=4r<sup>4</sup>-12r<sup>3</sup>+5r<sup>2</sup>-6r+9 должен быть полным квадратом. Но при r>4 имеем (2r<sup>2</sup>-3r-2)<sup>2</sup><D<(2r<sup>2</sup>-3r-1)<sup>2</sup> и не может быть полным квадратом.  Остается проверить случаи r=2,  r=3. В первом случае уравнение не имеет натуральных корней. Во втором в качестве пары (p, q) получаем пару (4,7). которая, естественно, тоже не подходит, поскольку одно из чисел не простое.

Таким образом, подходящих пар похожих чисел нет.

**Обсуждение**

Задача казалась мне достаточно простой. Большинство присланных решений (в целом совпадающих с приведенным выше) вроде бы подтверждают этот вывод. Но...
Парочка решений оказались менее прозрачными. А еще два участника, отозвавшихся на первую задачу тура, не прислали решений вовсе. Так что. с ММ162, по-видимому не все так просто.

**Награды**

За правильное решение задачи ММ162 Алексей Волошин, Виктор Филимоненков, Олег Полубасов, Сергей Половинкин, Евгений Гужавин и Анатолий Казмерчук получают по 4 призовых балла.

**Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла**
----