===== 163 =====
**Конкурсная задача ММ163 (РК-3)** (5 баллов)
//По мотивам задачи ММ94 (и ММ162)//
Пару похожих чисел a и b назовем s-парой, если a = spq, b=s3r, где p, q, r, s - попарно различные простые числа. Проверить истинность каждого из следующих утверждений:\\
1. Для каждого простого s найдется хотя бы одна s-пара.\\
2. Для некоторых простых s существует более одной s-пары.\\
3. Для каждого простого s число s-пар конечно.
**Решение**
Из условий φ(a)=φ(b) и σ(a)=σ(b) получаем pq-p-q = s2(r-1)-1 и pq+p+q = (s2+1)r+s2.
Откуда 2qp = (2s2+1)r-1 и 2(p+q) = r+2s2+1.
Обозначим c=2s2+1. Тогда r=2(p+q)-c, а p=c+(c2-1)/2(q-c).
Из последнего соотношения сразу следует конечность числа s-пар для фиксированного s.
Кроме того, у нас получился эффективный способ нахождения всех s-пар для данного s. Достаточно рассмотреть разложения числа (c2-1)/2 на два четных множителя и проверить на простоту возникающие p,q,r.
Легко убедиться, что при многих значениях s (наименьшее из них 11) не существует ни одной s-пары.
В тоже время, при s=593 имеется сразу 2 s-пары (593⋅381187517⋅703949,5933⋅763079633) и (593⋅3911429⋅780389,5933⋅8680337).
Таким образом, **первое из утверждений ложно, а остальные два истинны**.
**Обсуждение**
При s=2 получаем s-пару (638,568). Эта пара (рассмотренная в ММ94) - наименьшая пара похожих чисел.
Я нашел все s-пары, в которых s не превышает миллиона. Их оказалось 1381. Для 34-х значений s нашлось по две s-пары, а для s=853693 - целых три s-пары.
Из приведенной статистики видно, что для большинства проверенных простых s s-пар не существует. В тоже время, я полагаю, что существует бесконечно много s-пар. Я, собственно, и затевал рассмотрение s-пар в надежде доказать, что их бесконечно много и, тем самым, доказать бесконечность множества примитивных пар похожих чисел. Но пока вопрос о бесконечности числа примитивных пар остается открытым.
Отмечу, похожие числа - совсем не редкость. При обсуждении задачи ММ94 я писал, что мне не известно ни одной тройки похожих чисел. А затем радовался, найдя пару таких троек.
На самом деле достаточно легко отыскать (или все же сконструировать?) не только тройки, но и четверки, пятерки etc похожих чисел.
В прилагаемых файлах приведено {{:marathon:1096.doc|:1096}} и {{:marathon:4096_чисел_с_одинаковыми_значениями.docx|4096}} похожих чисел. Мне почему-то кажется, что и это не предел :-)
**Награды**
За правильное решение задачи ММ163 Алексей Волошин,Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук получают по 5 призовых баллов. Виктор Филимоненков и Евгений Гужавин получают по 4 призовых балла, Сергей Половинкин - 3 призовых балла.
**Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла**
----