===== ММ172 =====

**Конкурсная задача ММ172 (А-2)** (5 баллов)

Доказать, что существует бесконечно много хитовых  abc-троек, таких что c является степенью пятерки. 

Примечание: 
Тройка натуральных чисел a,b,c называется хитовой abc-тройкой, если a+b = c, GCD(a,b) = 1 и c > rad(abc). \\
Примечание к примечанию:
Пусть <m> n = {p_1}^{s_1}...{p_k}^{s_k} </m>, тогда <m> rad(n) = p_1...p_k </m>

**Решение**

Построим требуемые хитовые тройки с помощью пифагоровых.\\
Положим a<sub>0</sub>=2, b<sub>0</sub>=1, a<sub>n+1</sub>=|a<sub>n</sub><sup>2</sup>-b<sub>n</sub><sup>2</sup>|, b<sub>n+1</sub>=2a<sub>n</sub>b<sub>n</sub>.\\
Непосредственно проверяется что:\\
a<sub>n</sub> и b<sub>n</sub> всегда взаимно просты;\\
<m> {a_n}^2+{b_n}^2=5^{2^n}; </m>\\
все тройки, начиная с n=2, хитовые;

**Обсуждение**

Достаточно легко получить и другие бесконечные множества хитовых троек, которых c является степенью пятерки:
(a=1, b=5<sup>4k/sup>-1), c=5<sup>4k/sup>;\\ 
(a=1, b=5^<sup>6k/sup>-1), c=5<sup>6k/sup>;\\ 
несколько более общий случай - 1, 5<sup>p(p-1)</sup>-1, 5<sup>p(p-1)</sup>, где p>5 - простое число.\\
Во всех этих примерах a (или, если угодно, b) равно единице. Составляя задачу, я планировал в формулировке условия отсечь такие тройки. Но, верный своей рассеянности, забыл. И заметил свою оплошность, лишь когда мне указал на нее Алексей Волошин (и то со второго раза). Однако к этому времени я уже получил решение, в котором a=1. После этого вносить изменения в условие было бы дурным тоном.
Ниже приведены решения Олега Полубасова и Анатолия Казмерчука, в которых a отлично от единицы. Решение Николая Дерюгина по сути повторяет решение Анатолия, но менее строго аргументировано.
Специально для Олега Полубасова отмечу, что так полюбившийся ему термин "хитовые тройки" придуман не мной.

{{:marathon:kazmerchuk_mm172.doc|Решение Анатолия Казмерчука}}

{{:marathon:mm172_полубасов.pdf|Решение Олега Полубасова}}

Многие марафонцы отметили, что пятерка не является уникальным числом: присланные ими решения позволяют строить аналогичные множества хитовых троек и для степеней других чисел.
Приведенное выше решение также допускает подобное обобщение. Например, положив a<sub></sub>0=3, b<sub></sub>0=2, можно получить бесконечно много хитовых троек, у которых c будет степенью числа 13.    

**Награды**

За правильное решение задачи ММ172 Сергей Половинкин, Алексей Волошин, Виктор Филимоненков, Олег Полубасов, Анатолий Казмерчук, Кирилл Веденский и Алексей Извалов получают по 5 призовых баллов. Николай Дерюгин получает 4 призовых балла.

**Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла**

----