===== ММ187 =====

//Можно обойтись без эллиптических кривых//

**Конкурсная задача ММ187** (6 баллов)

Доказать, что существует бесконечно много пар натуральных чисел <m>(a,b)</m>, таких что <m>{a^2+b^2}/{ab+1}</m> является натуральным числом. 
Доказать, что существует бесконечно много пар, для которых <m>{a^2+b^2}/{ab+1}=1369</m>.
Существуют ли пары, для которых <m>{a^2+b^2}/{ab+1}=2013</m>?

**Решение**

Нарушу традиции и приведу решения {{:marathon:fiviol_mm187.doc|Виктора Филимоненкова}} и {{:marathon:pashutkin_mm187.pdf|Дмитрия Пашуткина}} (поразившее меня своей краткостью).


**Обсуждение**                              

Любопытна история ММ187. Лет двадцать назад задачу, послужившую основой ММ187, мне задал один абитуриент, когда принимал у него вступительный экзамен по математике. Случай в моей практике уникальный.
Как выяснилось, исходная задача (IMO 1988) "широко известна в узких кругах". Например, метод [[https://en.wikipedia.org/wiki/Vieta_jumping|Vieta jumping]] объясняется в англоязычной Википедии именно на примере этой задачи, а в русскоязычной Википедии ссылка на эту статью есть в статье "Олимпиадные математические задачи". Более того, статью "Vieta jumping" и ссылку на нее разместил Макс Алексеев - свой человек в Математическом марафоне. Так что, насчет узких кругов я написал не для красного словца. 

Натуральными числами вида <m>{a^2+b^2}/{ab+1}</m> являются квадраты НОД(a,b) и только они. Я сознательно составил задачу так, чтобы справиться со всеми тремя пунктами можно было, не опираясь на это утверждение: для первого достаточно пар <m>(a,a^3)</m>; для второго просто строится рекуррентная последовательность для значения 1369; для третьего достаточно заметить, что 2013 делится на 3, но не делится на 9 (из решения Дмитрия Пашуткина видно, что можно прийти к верному выводу и иначе).

На этот раз марафонцы не особо стремились к обобщениям. Единственным участником, предложившим серьезное обобщение ММ187, оказался Олег Полубасов. Я не привожу этого обобщения по двум причинам:
1) я еще сам не конца разобрался во всех деталях (а разбор ММ187 и без того запаздывает);
2) те детали, в которых я успел разобраться, все равно, попридержу, поскольку они могут послужить основой для новых задач :-)  
Замечу только, что Олег "танцевал" от тесной связи ММ187 с ММ135 и ММ164.  

**Награды**

За правильное решение и обобщение задачи ММ187 Олег Полубасов получает 11 призовых баллов. За правильное решение задачи (или ее отдельных пунктов) Анатолий Казмерчук, Сергей Половинкин, Виктор Филимоненков, Дмитрий Пашуткин получают по 6 баллов, Евгений Гужавин - 4 балла, Николай Дерюгин и Владимир Дорофеев - по 2 призовых балла.

**Эстетическая оценка задачи 4.8 балла**
----