===== ММ188 =====

//Когда трехмерный случай сложнее четырехмерного// 

**Конкурсная задача ММ188** (9 баллов)

1. a,b,c,d - векторы трехмерного евклидова пространства (не обязательно различные).
M = {{a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}}. Подмножество множества M назовем хорошим, если при подходящем выборе векторов все тройки из данного подмножества образуют базис, а остальные не образуют. Сколько хороших подмножеств у M?
2. Тот же вопрос для пяти векторов в четырехмерном пространстве.
3. Тот же вопрос для пяти векторов в трехмерном пространстве.

**Решение**

Привожу два решения:
четкое, обоснованное, без "излишеств" - {{:marathon:mm188_fiviol.doc|Виктора Филимоненкова}};
с введением терминологии и исследованием более общего случая - {{:marathon:mm188_полубасов.pdf|Олега Полубасова}}.

**Обсуждение**                              

Предлагая эту задачу, я полагал, что основные трудности решения связаны, с пунктом 3, и именно с комбинаторной частью задачи: корректно разбить подмножества множества M на классы эквивалентных подмножеств (не перебирать же все 1024 случая отдельно) и найти мощность каждого класса.\\
Но, вопреки моим ожиданиям, оказалось, что главный источник преткновений - линейная алгебра. В частности, не подтвердился эпиграф "трехмерный случай сложнее четырехмерного": есть решение, где трехмерный случай посчитан правильно, а четырехмерный - с ошибками. Обратных же примеров - нет.

Не подтвердилась и вторая моя гипотеза. Я полагал, что задача получит низкую оценку из-за "муторности" решения. Однако, задача участникам Марафона, в целом, понравилась.

Совершенно очевидно (по крайней мере, "с моей колокольни") обобщение 1-го и 2-го пунктов задачи на случай n-мерного пространства.\\
Если M состоит из всех сочетаний (n+1)-элементного множества по n элементов, то все 2<sup>n+1</sup> подмножеств будут хорошими.

На другие очевидные по постановке, но не по методам и результатам результатам, обобщения отважились всего двое марафонцев. Их успехи на этом пути оценены дополнительными призовыми баллами.\\
Интересные вопросы, оставшиеся без ответов, приведены в {{:marathon:mm188_add_полубасов.pdf|дополнении}} к решению Олега Полубасова. 

**Награды**

За правильное решение и обобщение задачи ММ188 Олег Полубасов получает 14, а Анатолий Казмерчук - 11 призовых баллов. За правильное решение задачи (или ее отдельных частей) Сергей Половинкин и Виктор Филимоненков получают по 9 баллов, Дмитрий Пашуткин - 7 баллов, Антон Никонов и Николай Дерюгин - по 2 призовых балла.

**Эстетическая оценка задачи 4.8 балла**
----