===== ММ191 =====
 
**Конкурсная задача ММ191** (4 балла) 

Рассматриваются тройки  чисел  a ≤ b ≤ c, не превосходящих данного натурального числа n.  Каких троек больше, тех, которые могут быть длинами сторон некоторого треугольника, или остальных?

**Решение**

Для каждого фиксированного значения c зададим преобразование множества троек по правилу: (a,b,c) переходит в (c+1-b,c+1-a,c). При этом тройки, не образующие треугольник перейдут в тройки, образующие треугольник, а обратное не всегда верно. Поэтому троек, образующих треугольник, больше.

Приведу решения Олега Полубасова, Сергея Половинкина и Ариадны.

{{:marathon:mm191_полубасов.pdf|Решение Олега Полубасова}}\\
{{:marathon:mm191_polovinkin.pdf|Решение Сергея Половинкина}}\\
{{:marathon:ariadna_мм191.docx|Решение Ариадны}}

**Обсуждение**

Эта задача привлекла меня двумя моментами:\\
наличием простого изящного решения;\\
любопытным совпанением чисел T<sub>c</sub> и N<sub>c+1</sub>, где T<sub>c</sub> и N<sub>c</sub> количества троек с фиксированным с, соответственно образующих и не образующих треугольник.

Участники порадовали разнообразием решений. 
Решения Олега Полубасова и Анатолия Казмерчука идентичны авторскому. Решения Константина Хадаева и Виктора Филимоненкова основаны на той же идее, но в несколько иной редакции. 
Другие участники посчитали количества подходящих и неподходящих троек для каждого фиксированного c (иногда этот подсчет был оформлен в виде шага индукции) или для всех троек, у которых большая сторона не превосходит c.
В результате некоторые решения растянулись до шести полновесных страниц :-)
Очень наглядное решение визуальное решение предложил Дмитрий Пашуткин (то, что при этом он перепутал цвета, я списал на проблемы с цветовосприятием :-))
{{ :marathon:mm_191.jpg |}}

Антон Никонов заметил, что последовательность T<sub>c</sub> (а следовательно и N<sub>c</sub>) есть в OEIS под номером //A002623//.

**Награды**

За правильное решение задачи ММ191 Олег Полубасов и Сергей Половинкин получают по 5 призовых баллов. Антон Никонов, Виктор Филимоненков, Владимир Дорофеев, Ариадна, Анатолий Казмерчук, Константин Хадаев, Николай Дерюгин, Дмитрий Пашуткин,  - по 4 призовых балла. За правильное решение с некоторыми вычислительными погрешностями Денис Артюшин получает 3 призовых балла. 

**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
----