=====ММ192=====
 
**Конкурсная задача ММ192** (5 баллов) 

Рассматриваются целочисленные треугольники со сторонами, не превосходящими данного натурального числа n.
Каких треугольников больше: остроугольных или тупоугольных?

**Решение**

Привожу решения {{:marathon:mm192_полубасов.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:mm192_pashutkin.pdf|Дмитрия Пашуткина}} и {{:marathon:mm192_ariadna.rar|Ариадны}}.

**Обсуждение**

В данной задаче меня привлекло то, что перевес тупоугольных наступает при достаточно большом n. И это притом, что в пределе этот перевес довольно значителен (в пределе примерно 1.33:1).

Задача ММ192 оказалась труднее предыдущей. Это выразилось в меньшем числе ответов при одновременном увеличении числа ошибок.

Часть ошибок связана неверным определением n, при котором тупоугольных треугольников становится больше. Это связано с "погореловской" трактовкой треугольников, когда тройки (2,3,4,) и (3,2,4) определяют разные треугольники. Сторонники этой версии даже нашли ей подтверждение в виде последовательности A006003 в OEIS. При этом их не смутило ни то, что среди многочисленных интерпретаций этой последовательности не упоминаются целочисленные треугольники, ни то, что в обсуждении прошлой задачи явно указана совсем другая последовательность (A002623), отвечающая за за количество целочисленных треугольников.

Кстати, об OEIS. К моему удивлению, там не обнаружилось последовательностей, отвечающих за количества целочисленных остроугольных и тупоугольных треугольников. Ни с фиксированной большей стороной, ни с большей стороной, не превышающей данного числа. (Даже последовательность A224921, отвечающая за число пифагоровых троек с гипотенузой, не превышающей n, появилась лишь в прошлом году!) Постараюсь в ближайшее время восполнить этот пробел. Надеюсь, что Антон Никонов дополнит соответствующие статьи явными формулами.

Почему именно Антон? Потому что только он нашел соответствующие явные [[http://dxdy.ru/post909787.html#p909787|формулы]]. Безусловно этот подвиг (см. формулы в решении Антона) заслуживает отдельных призовых баллов. Я их и добавил. Но при этом вычел такое же число баллов за традиционное нежелание приводить пояснения и обоснования.

Особняком стоит решение Константина Хадаева. Применив тот же подход, что большинство остальных участников, Константин перепутал области, отвечающие за остроугольные и тупоугольные треугольники. Я бы не стал столь жестко снижать баллы за такую ошибку, если не два обстоятельства:\\
1. На мой взгляд, слишком самонадеянно не проверить свое решение хотя бы на простейших частных случаях. В данном случае достаточно было взять n=1, чтобы понять, что в решении что-то не так, если единственный для этого случая равносторонний треугольник превратился в тупоугольный.\\
2. Как я это обычно делаю в ситуации, когда решение прислано загодя и ошибка имеет характер "с точностью до наоборот", я намекал Константину на его ошибку. Но безрезультатно.

Вслед за Константином  Хадаевым (но с другим результатом) я подсчитал "средний больший угол" в треугольнике (или больший угол в "среднем" треугольнике). У меня получилось примерно 94°14'.

**Награды**

За правильное решение задачи ММ192 Олег Полубасов, Антон Никонов, Виктор Филимоненков, Ариадна и Анатолий Казмерчук получают по 5 призовых баллов. Сергей Половинкин и Дмитрий Пашуткин получают по 4 призовых балла.  Константин Хадаев - 2 призовых балла. 

**Эстетическая оценка задачи - 4.9 балла**
----