=====ММ209=====

**Конкурсная задача ММ209**  (9 баллов)

Эта задача прямое продолжение задач ММ29 и ММ39

Назовем натуральное число a третькубом, по основанию g, если дважды приписав в g-ичной системе a к себе получим полный куб. Доказать, что существует бесконечно много оснований g, для которых есть третькубы.

**Решение**

Привычно привожу решения {{:marathon:kazmerchuk_pr_209.docx|Анатолия Казмерчука}}, {{:marathon:mm209_dzubenko.docx|Василия Дзюбенко}} и {{:marathon:mm209_полубасов.pdf|Олега Полубасова}}.

**Обсуждение**

К сожалению, притормозившие марафонцы не спешат возвращаться "на трассу".\\ 
По-видимому, эксперимент с уклоном Марафона в "компьютерщину" можно считать успешно проваленным :-(\\
Это несколько неожиданно для меня. Поскольку задачи, требующие компьютерного перебора, нередко встречались и в прошлых турах, но не вызывали массового оттока участников.


Для дальнейшего обобщения чисел, рассматриваемых в задачах ММ29, ММ39, ММ209, удобно ввести более подходящую терминологию (чтобы не увязнуть в "четверть-пятых степенях" и т.п.)

Пусть  s, k, n, g - натуральные числа, причем s, k  и g больше 1. Натуральное число R будем называть **реппауэром**, отвечающим набору (s, k, n, g), если R является точной s-й степенью и в системе счисления с основанием g число R записывается группой из n цифр, повторенной k раз.

Очевидно, что при n = 1, k = 2 для любого s существует бесконечно много реппауэров для подходящих g. Например, при  g=a<sup>s</sup>-1  число, записанное двумя единицами, будет точной s-й степенью.

При  s = 2, k = 2 для каждого основания g существует бесконечно много реппауэров при подходящих n (MM29).

При  s = 3, k = 2, n = 2 существует бесконечно много оснований g, для которых есть реппауэры (MM39).

При  s = 2, k = 3, n = 1 существует бесконечно много оснований g, для которых есть реппауэры (см. решение Олега Полубасова).

При  s = 3, k = 3, n = 1 существует бесконечно много оснований g, для которых есть реппауэры (ММ209).

При  s = 3, k = 2, n = 3 вопрос о конечности числа реппауэров (трехзначных полукубов в старой терминологии) открыт. При этом отдельные примеры реппауэров с такими характеристиками встречаются довольно часто:

57<sup>3</sup> = 5 5 1 5 5 1<sub>8</sub>

140<sup>3</sup> = 1 2 1 1 2 1<sub>19</sub>

234<sup>3</sup> = 1 22 18 1 22 18<sub>23</sub>
...
24962695604<sup>3</sup> = 49336 192746 166070 49336 192746 166070<sub>199407</sub>
...

При s = 2, k = 3, n = 2 (случай двузначных третьквадратов в старой терминологии) картина аналогична: есть примеры реппауэров, но неизвестно, конечно ли их число: 

160797<sup>2</sup> = 17 53 17 53 17 53<sub>68</sub>

7575393<sup>2</sup> = 19 32 19 32 19 32<sub>313</sub>

274088893<sup>2</sup> = 450 133 450 133 450 133<sub>699</sub>

4649437443<sup>2</sup> = 13 2735 13 2735 13 2735<sub>4366</sub>

134669813878873<sup>2</sup> = 49737 9460 49737 9460 49737 9460<sub>51567</sub>

3266513519259697<sup>2</sup> = 14911 203389 14911 203389 14911 203389<sub>234924</sub>

Еще один такой случай (есть примеры, но, конечно ли их число, неизвестно) s = 4, k = 2, n = 2:

78<sup>4</sup> = 2 170 2 170<sub>239</sub>

305<sup>4</sup> = 27 191 27 191<sub>682</sub>

2810<sup>4</sup> = 710 3910 710 3910<sub>4443</sub>

7930<sup>4</sup> = 1823 10935 1823 10935<sub>12943</sub>

Наконец, при  s = 2, k = 4, n = 1  имеется, много примеров реппауэров, но неизвестно, конечно ли это множество:

20<sup>2</sup> = 1111<sub>7</sub>

1218<sup>4</sup> = 21 21 21 21<sub>41</sub>

7540<sup>4</sup> = 58 58 58 58<sub>99</sub>
...

И.., собственно, все!
То есть, конечно же существуют реппауэры и для наборов параметров, не описанных выше:

57459558593<sup>3</sup> = 4208 7128 8441 5457 4208 7128 8441 5457<sub>12400</sub> (s=3, k=2, n=4)  

57<sup>3</sup>= 101101001 101101001<sub>2</sub> (s=3, k=2, n=9)

70<sup>3</sup> =9 13 4 9 13 4<sub>19</sub> (s=4, k=2, n=3)

78<sup>6</sup> =22 150 22 150<sub>239</sub> (s=6, k=2, n=2)

Но таких примеров не более чем конечное число. 
В противном случае мы будем иметь бесконечно много троек взаимно простых натуральных чисел (a, b, c), таких что при ε = 1/19  (rad(abc))<sup>1+ε</sup> < c. А это противоречит утверждению abc-гипотезы, которая, [[http://dxdy.ru/post614717.html#p614717 | не исключено]], уже 3 года как не гипотеза.

**Награды**

За решение и обобщение задачи ММ209 Олег Полубасов получает 12 призовых баллов. За верное решение ММ209 Анатолий Казмерчук и Василий Дзюбенко  получают по 9 призовых баллов. Сергей Половинкин (не добравшийся до бесконечности) получает 3 призовых балла.

**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов**
----