=====ММ21=====
**Конкурсная задача ММ21** (10 баллов)
Доказать, что уравнение {x_1}^2 + {x_2}^3 + ... + {x_{n-2}}^{n-1} = {x_{n-1}}^{n} (1) имеет бесконечно много решений в натуральных числах:\\
a) при любом нечетном простом n (4 балла);\\
б) при n=9 (6 баллов).
**Решение**
Как выяснилось, благодаря марафонцам, решившим эту задачу, подразделение ее на пункты а) и б) оказалось весьма искусственным.\\
При n=5 имеем решение: 2^2+3^3+1^4=2^5\\
Это решение можно продолжить для любого n, большего 4:
2^2+3^3+1^4+2^5=2^6;\\
2^2+3^3+1^4+2^5+2^6=2^7;\\
И т.д.\\
Для случая n=3, наличие решений очевидно.
Не сложно найти решение и для n=4: 28^2+8^3=6^4. Но из наличия хотя бы одного решения сразу вытекает наличие бесконечного числа решений. Действительно, если (a_1, a_2,..., a_n) - решение, а s - НОК чисел 2, 3,.., n,\\
то при любом k ({a_{1}k}^{{s}/{2}}, {a_{2}k}^{{s}/{3}},..., {a_{n}k}^({s}/{n}}) - тоже решение.\\
Таким образом, (1) имеет бесконечно много решений при любом n, большем 2.
**Обсуждение**
Объясню, откуда взялись пункты а) и б) в условии.
Составляя эту задачу, я отталкивался от такого рассуждения:
Пусть n простое число большее 3. Обозначим a = n-2, k = НОК(2, 3,.., n-1), kn = m.\\
В силу простоты n, n и k взаино просты. Поэтому среди чисел k+1, 2k+1,..., (n-1)k+1 найдется кратное n. Обозначим его s+1.
Тогда s = 2s_1 = 3s_2 =... (n-2)s_{n-2} и a^{{s_1}^2} + a^{{s_2}^3} + ... + a^{{s_{n-1}}^{n-1}} = a^{{s_{n-1}}^n}
При составном n такое рассуждение уже не проходит. При n=9 можно сконструировать решение (1), оперируя степенями тройки и пользясь соотношением ((3^k+3^k+3^k)+ 3^{k+1}+3^{k+1}+3^{k+2}+3^{k+2}=3^{k+3}.
Похожую конструкцию можно соорудить и отталкиваясь от степеней двойки.\\
Получится совсем уж похоже на то, что предложено перечисленными ниже участниками марафона и приведено в разделе 'решение'.
Несмотря на это сходство, решения, проходящего для любого n, больше 4, я не заметил.
Несколько видоизмененный вариант этой задачи неожиданно для меня был опубликован в журнале "Квант" [[http://kvant.mccme.ru/pdf/2006-01s.pdf|№1-2006]] в разделе КМШ.
**Награды**
За правильное (более универсальное, чем авторское) решение этой задачи Владимир Трушков, Макс Алексеев и Борис Бух получают по 12 призовых баллов.
----