===== ММ210 =====

**Конкурсная задача ММ210** (13 баллов)

1.  Пусть М = {h<sub>a</sub>, h<sub>b</sub>, h<sub>c</sub>, b<sub>a</sub>, b<sub>b</sub>, b<sub>c</sub>, m<sub>a</sub>, m<sub>b</sub>, m<sub>c</sub>} - множество, состоящее из величин высот, биссектрис, и медиан некоторого треугольника. Сколько элементов может быть в M?\\
2. Пусть в разностороннем треугольнике ABC (a < b < c) и множество М из п.1 содержит 9 элементов. Соответствующие числа расположили в порядке возрастания. Сколько различных упорядочиваний может при этом получится?\\
3. Тот же вопрос для случая, когда среди чисел {h<sub>a</sub>, h<sub>b</sub>, h<sub>c</sub>, b<sub>a</sub>, b<sub>b</sub>, b<sub>c</sub>, m<sub>a</sub>, m<sub>b</sub>, m<sub>c</sub>} могут быть одинаковые. (В этом случае полагаем a ≤ b ≤c  и рассматриваем строгое упорядочивание классов одинаковых величин. Перестановки внутри класса не важны.)

Примечание.\\ 
Получить ответ для каждого из случаев:\\ 
1) рассматриваются только невырожденные треугольники;\\
2) допускаются вырожденные треугольники (все вершины лежат на одной прямой).

**Решение** 

Количество решений, присланных после продления срока их приема, оказалось меньше количества просьб об этом продлении.
Поэтому привожу все решения, которые у меня есть: {{:marathon:mm210_полубасов.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_pr_210.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:triangles_report.pdf|авторское}}.

**Обсуждение**

Малое количество присланных решений вполне компенсируется их размером. И это только "видимая часть айсберга". Так, кроме выложенного мной на всеобщее обозрение 30-страничного трактата, Анатолий Казмерчук прислал еще несколько файлов с "кухней". У меня тоже имеется солидная "подводная часть" решения (преимущественно она относится к обоснованию отсутствия неучтенных точек пересечения рассматриваемых кривых в интересующей нас области). Полагаю, что и Олег Полубасов при получении тех результатов, которые приведены в его решении без сопровождающих подробностей, опирался не только на "метод божественного озарения" :-)

Расхождение в общем количестве числа упорядочиваний классов одинаковых величин в случае, допускающем вырожденные треугольники, (по 63 у меня и Олега, 62 у Анатолия) объясняется просто. Анатолий не включил в рассмотрение "треугольник" ABC, у которого вершины B и C совпадают, и аргументировал это. Олег привел те же аргументы в пользу неопределенности высоты из вершины A, но включил этот случай. Я же полагал, что высота из вершины A в таком "треугольнике" равна его медиане и биссектирисе из той же вершины, поскольку равнобедренность этого "треугольника" не вызывает сомнений (в отличие от его треугольности :-)) Полагаю, это вопрос договоренности.

Понятно, что рассматриваемые вопросы зависят только от формы, но не от размеров треугольника. Поэтому задача является двухпараметрической. Но сами параметры можно выбирать по-разному. Подход, который еще со времен задачи ММ80 предпочитаю я, нравится мне своей наглядностью - на рисунке представлены сами изучаемые треугольники, а не их характеристики. Удивительно, что я ни разу не встречал такой параметризации в литературе  (она встречалась в решении задачи ММ80, присланном Виктором Филимоненковым, но в этом туре Виктор сошел с дистанции посреди этапа :( ). 

Любопытно, что среди тупоугольных треугольников представлены целых 51 из 56 возможных классов невырожденных треугольников. Если допустить к рассмотрению вырожденные треугольники, то среди тупоугольных будут представлены 57 классов. Отпадет еще описанный выше класс "треугольников" с двумя совпадающими вершинами (у таких "треугольников", на мой взгляд, один острый угол и пара прямых, но я не настаиваю на таком толковании :-)).\\ 
Среди остроугольных треугольников представлены всего 20 классов из 56 (8 при |M|=9, 8 при |M|=8, 1 при |M|=7, 2 при |M|=4, 1 при |M|=1).\\ 
14 классов из 56 представлены среди прямоугольных треугольников.

**Награды**

За решение задачи ММ210 Анатолий Казмерчук и Олег Полубасов получают 13 призовых баллов. 

**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов**
----