=====ММ217=====

**Конкурсная задача ММ217** (6 баллов)

Диагонали AC<sub>1</sub> и BD<sub>1</sub> шестигранника ABCDA<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub>, все грани которого четырехугольны, пересекаются в точке O.  Могут ли остальные пары диагоналей скрещиваться? 

**Решение**

Привожу решения {{:marathon:mm217_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_pr_217.docx|Анатолия Казмерчука}}, {{:marathon:pashutkin_mm217.pdf|Дмитрия Пашуткина}}, {{:marathon:frank_mm217.pdf|Владислава Франка}} и {{:marathon:dzyubenko_мм217.pdf|Василия Дзюбенко}}.

**Обсуждение**

Мои ожидания отчасти сбылись. Некоторые из марафонцев, не приславших ответов на ММ216, вернулись на дистанцию. Но не все. И если некоторые из "невозвращенцев" приучили меня к такому их поведению, выпадая по ходу и из предыдущих конкурсов, то от других я этого не ожидал. 

Отмечу момент, не сформулированный явно ни в одном из решений. Если любые две диагонали нашего шестигранника пересекаются, то все они пересекаются в одной точке. Если же пересекаются лишь две или четыре пары диагоналей, то все точки пересечения различны.

Замечу также (ни в коем случае не претендуя на откровение), что два случая (прямые AB и C<sub>1</sub>D<sub>1</sub> пересекаются либо параллельны), рассматриваемые большинством участников, с проективной точки зрения являют собой один случай. 

**Награды**

За решение и обобщение задачи ММ217 участникам начислены следующие призовые баллы:\\ 
Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук - по 7;\\ 
Владислав Франк, Виктор Филимоненков, Дмитрий Пашуткин и Василий Дзюбенко - по 6.

**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла**
----