===== ММ229 =====
 
**Конкурсная задача ММ229** (7 баллов)

Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж.\\ 
Вася выписал себе в тетрадь внешний цикл возникшей конфигурации: (1, 4, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3). \\
После этого Петя стер рисунок. Сможет ли Вася восстановить:\\
1) количество прямых;\\
2) количество элементарных многоугольников:\\ 
3) количество выпуклых вершин;\\
4) количество элементарных отрезков, ограничивающих внешний контур;\\
5) количество сторон выпуклой оболочки внешнего контура;\\
6) суммарное число сторон элементарных многоугольников;\\
7) количество обратных вершин;\\
8) количество впадин;\\
9) количество сторон внешнего контура?

Примечание: Вася – умный.  

**Решение**

Привожу все поступившие решения: {{:marathon:ariadna_мм229.docx|Ариадны}}, {{:marathon:kazmerchuk_pr_229-1.pdf|Анатолия Казмерчука}}, {{:marathon:fiviol_mm229.pdf|Виктора Филимоненкова}} и {{:marathon:mm229_polubasoff_.pdf|Олега Полубасова}}.

**Обсуждение** 

На перегоне ММ228-ММ229 никто из марафонцев с дистанции никто не сошел. Но, к сожалению, никто и не вернулся (примкнул).

Я не слишком высоко оценил титаническую работу Анатолия Казмерчука по подсчету количества конфигураций, приводящих к данному внешнему циклу, поскольку результат получился слишком уж частный.
Гораздо интереснее, на мой взгляд, получить какие-то общие закономерности.\\ 
Или хотя бы полное описание всех конфигураций (с позиций рассматриваемых конфигураций) для малого количества прямых.\\ 
До 4-х прямых включительно все однозначно. \\
При 5-и прямых все характеристики дружно перестают быть константами, но возможные значения легко перебираются.\\
Например, возможные векторы граней - [5,0,1], [4,1,1], [3,2,1], [3,3,0]. \\
Разнообразие внешних циклов несколько больше:\\
(3,1,3,1,3,1,3,1,3,1);\\
(3,2,1,2,3,1,2,2,2,1);\\
(4,1,2,2,2,1,2,2,2,1);\\
(3,1,2,2,2,1,2,2,2,1);\\
(3,1,3,1,3,1,2,2,2,1);\\
(3,2,1,3,2,1,2,2,2,1).\\
В частности, для пяти прямых внешний цикл однозначно определяет вектор граней, что, как мы знаем, неверно в общем случае.
Начиная с 6-и прямых, разнообразие характеристик и их сочетаний уже настолько велико, что ручной перебор проблематичен.\\
Ну а в общем случае...\\
В общем случае удается получить лишь некоторые оценки. Такие как наличие n-2 треугольников и достижимость (n-2)(n-3)/2 четырехугольников для конфигураций из $n$ прямых.

**Награды**

За решение задачи ММ229 участники Марафона получают следующие призовые баллы: 
Анатолий Казмерчук - 9;
Олег Полубасов - 8;
Виктор Филимоненков - 7;
Валентина Колыбасова - 6.

**Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла**
----