===== ММ234 =====
**Конкурсная задача ММ234** (5 баллов)
Функция g(n) натурального аргумента n задается так:\\
Пусть n натуральное число. Определим f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.\\
Например, f(576) = 57 + 36 = 93.\\
Тогда g(n) = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.\\
Пусть a и b – 2018-значные числа. Может ли оказаться, что g(a) = g(b) + 26?
**Решение**
Привожу решения {{:marathon:мм234-варламов.pdf|Юрия Варламова}} (минималистическое) и {{:marathon:dziudenko_mm234.pdf|Василия Дзюбенко}} (более развернутое).
**Обсуждение**
Большая разрядность чисел в условии, кроме очевидной отсылки к году проведения конкурса, призвана устранить прямое переборное решение.
Но, разумеется, это лишь некая "дымовая завеса". Разность 26 достигается уже для трехзанчных чисел и больше не меняется с ростом разрядности. Я полагаю, что это заметили все конкурсанты. Но, в условиях дефицита красивых обобщений, я поощрил дополнительным тех, кто явно сформулировал этот момент.
Еще один дополнительный балл, получил vpb (за лемму, без которой в решении вполне можно обойтись :-)). И это тоже свидетельство некоторой тоски ведущего о реально серьезных обобщениях и интересных аналогах конкурсных задач.\\
Я был почти уверен, что многие конкурсанты рассмотрят наиболее напрашивающиеся аналоги ММ234 для других систем счислеия, других степеней последней цифры. И, возможно, иные.\\
Однако, к другим системам счисления обратился лишь Владимир Дорофеев. Он заметил, что аналог петли 89 имеется для всех оснований ситемы счисления, больших 2, и наличие петель для систем с основанием k2-k+1. Например, в семеричной системе g7(13)=g7(24)=1. Однако и Владимир не пошел дальше рассмотрения одноэлементных циклов.
Честно признаюсь, и сам ведущий поленился рассматривать естественные обобщения данной задачи. В отличие от ряда других.
**Награды**
За решение задачи ММ233 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
Владимир Дорофеев - 6;\\
Василий Дзюбенко - 6;\\
Анатолий Казмерчук - 6;\\
vpb - 6; \\
Юрий Варламов - 5;\\
Валентина Колыбасова - 5;\\
Виктор Филимоненков - 5;\\
Евгений Гужавин - 5;\\
Владимир Чубанов - 5;\\
Владислав Франк - 5.
**Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла**
----