===== ММ238 =====
**Конкурсная задача ММ238** (7 баллов)

Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V.\\
Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - P. \\
Оказалось, что  2018 < V/P < 2019. \\
При каком наименьшем k такое возможно?
----

**Решение**

Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм238.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:marathon:guzhavine_mm238.pdf|Евгения Гужавина}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_238.docx|Анатолия Казмерчука}}.

**Обсуждение** 

Наверное, марафонцы подустали. Так что, запланированный перерыв (на Реальный конкурс) будет весьма кстати.\\
Полагаю, следствием этой усталости стало и значительное количество мелких неточностей в решениях, и тяжеловесный подход к простым вещам, и почти полное отсутствие аналогов, параллелей и обобщений. А этих самых параллелей немало. Впрочем, вслед за конкурсантами помолчу о них и я: приберегу для следующих задач.

Говоря о тяжеловесном подходе я имел в виду то, как многие конкурсанты оценивали M<sub>k</sub>/m<sub>k</sub>, где M<sub>k</sub> - максимальное значение отношения произведения k последовательных чисел к их НОК, а m<sub>k</sub>, соответственно, минимальное.
Наиболее простым мне показался метод, примененный Владиславом Франком (правда, применяя его Влад пару раз обсчитался :-) \\
Проиллюстрирую подход Влада на примере нахождения M<sub>9</sub>/m<sub>9</sub>: Среди девяти последовательных чисел ровно три кратно 3 и ровно одно кратно 9. Поэтому множитель 3 не войдет в искомое отношение. Однако туда войдут множители 5 и 7, так среди 9 последовательных чисел может быть как два, так и одно кратное 5 (7). Наконец, если произведение девяти чисел начинается с числа кратного 8, то его отношение к НОК будет в 8 раз больше, чем в случае, когда произведение начинается с нечетного числа. Итого M<sub>9</sub>/m<sub>9</sub>=280.

Только один из конкурсантов заметил (по крайней мере, только один отметил), что M<sub>k</sub>/m<sub>k</sub> равно {LCM(1,2,...,k)/k (см. https://oeis.org/A002944) 

Некоторые участники не стали приводит примеров Васиных и Петиных чисел (если при этом существование таких чисел было строго обосновано, баллы не снимались), другие же - привели, ни разу при этом не повторившись.
Минимальный пример приведен в решении Анатолия Казмерчука. Васины числа начинаются с 21169, а Петины с 21600. По-видимому, это наименьшие подходящие числа. По крайней мере, в авторском решении фигурируют именно они. А я, кажется, искал именно наименьшие. Впрочем, задача составлялась в апреле и подробности я уже забыл, а в сохранившемся maple-документе нет ни одного комментария :-(
 
**Награды**

За решение задачи ММ238 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
Анатолий Казмерчук - 7;\\
vpb - 7;\\
Виктор Филимоненков - 7;\\
Владимир Чубанов - 7;\\
Евгений Гужавин - 7;\\
Владислав Франк - 6;\\
Константин Шамсутдинов - 6;\\
Владимир Дорофеев -5.

**Эстетическая оценка задачи - 4.9 балла**
----