===== ММ239 =====
**Конкурсная задача ММ239** (10 баллов)

Решения принимаются до __17.11.2018__

Существует ли выпуклый многогранник, у которого:\\
a) не менее половины граней - семиугольники;\\
b) более половины граней - семиугольники; \\
с) не менее половины граней - восьмиугольники;\\
d) более половины граней - восьмиугольники;\\
e) не менее половины граней  - девятиугольники?

//Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.// 

**Решение**

Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм239.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_239.docx|Анатолия Казмерчука}}.

**Обсуждение** 

Ровно в половине всех присланных (и всех приведенных) решений авторы обошлись без картининок.
Чтобы восполнить этот пробел, приведу пару своих картинок (зря, чтоли рисовал?).\\
Первый рисунок иллюстрирует ответы сразу к трем пунктам задачи: a), b), c).
Отрезав от додекаэдра красные вершины, получим многогранник в котором более (а значит, и не менее) половины граней являются семиугольниками.
Если же наоборот, оставить красные вершины, а остальные отрезать, получим многогранник, в котором ровно половина граней - восьмиугольники.

{{ :marathon:dode_red.png?direct |[url=https://radikal.ru][img]https://c.radikal.ru/c29/1811/ee/fe9c0eb0fc7c.png[/img][/url]}}

На втором рисунке приведен граф многогранника с вектором граней (28,0,0,4,0,36), обосновывающий положительный ответ к пункту d).

{{ :marathon:28-0-0-4-0-36.jpg?direct |[url=https://radikal.ru][img]https://b.radikal.ru/b16/1811/db/cc6dba0522fa.jpg[/img][/url]
}}
ММ239 (как и ММ235) - это отголосок XXII Марафонского конкурса, посвященного данной тематике. Участники, пропустившие тот конкурс, вынуждены были переотрывать утверждения типа Теоремы Эберхарда etc (конечно, можно было просто найти нужные результаты в сети, но наши конкурсанты не ищут легких путей :-)). С удовольствием констатирую, что нашлись те, кто преодолел эти трудности (были ли те, кто не смог - неизвестно, они решений не прислали).\\
Изучение вопроса о верхней грани отношения количества k-угольных граней к общему числу граней (6\le k\le 12) поощрялось дополнительными баллами. В случае **vpb**, это поощрение  скомпенсировалось сбавкой за штейнеровское отношение к читателю :-). (Каюсь, сам я работ Якоба Штейнера в первоисточнике не читал, но, говорят, он свои сугубо геометрические выкладки вообще не снабжал чертежами.) 
Остальные изъятия сделаны либо за отсутствие примеров на некоторые пункты, либо за присутствие примеров с невозможными многогранниками (с нецелым количеством ребер :-))
Волшебное превращение восьмиугольных граней в семиугольные (при склейке по общей треугольной грани) я оценивать не стал :-)
 
**Награды**

За решение задачи ММ239 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
Анатолий Казмерчук - 12;\\
Владимир Чубанов - 11;\\
vpb - 10;\\
Константин Шамсутдинов - 10;\\
Виктор Филимоненков - 9;\\
Владислав Франк - 6.

**Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла**
----