===== ММ240 ===== **Конкурсная задача ММ2409** (13 баллов) Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться? **Решение** Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм240.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:marathon:kosshams_mm240.docx|Константина Шамсутдинова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm240.docx|Анатолия Казмерчука}}. **Обсуждение** Задача ММ240 - побочный продукт попытки найти решение другой задачи.\\ Я пытался понять, верно ли, что любом n>4 можно найти такое расположение n прямых общего положения на проективной плоскости, что в разбиении будут возникать только треугольники, четырехугольники и пятиугольники. Мы с ученицей (которой я предложил эту задачу) довольно быстро продвинулись в деле отыскания все больших n, но на общий принцип (а есть ли он?) так и не вышли. Надо будет внимательнее присмотреться к подходам, предложенным конкурсантами. Возможно, они помогут решить и задачу-предшественник. В условии фиксировалось количество треугольников, но не прямых. Любопытно, что, доказывая реализуемость возможных значений пятиугольников приводили конфигурации с различными количествами прямых:\\ Виктор Филимонеков использовал от 9 до 11 и от 15 до 17 прямых:\\ Анатолий Казмерчук от 12 до 17 прямых;\\ в авторском решении участвуют от 9 до 17 прямых, исключая 15.\\ Наиболее красиво в этом плане решение Константина Шамсутдинова, в котором все конфигурации построены по единой схеме с использованием только 17 прямых (мне до сих пор не верится, что такое возможно). За сим заканчиваю обзор завершающей задачи XXIV Марафонского конкурса и приступаю к: подведению итогов; поиску ошибок в решении Константина; размышлению над тем, почему никто не догадался использовать 18 прямых :-) **Награды** За решение задачи ММ240 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ Константин Шамсутдинов - 16;\\ Анатолий Казмерчук - 15;\\ Виктор Филимоненков - 13;\\ Владимир Чубанов - 7. **Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** ----