===== ММ241 =====

**Конкурсная задача ММ241** (4 балла)

При каких натуральных n множество {1, 2, …, n} можно разбить на два подмножества так, что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго?

**Решение**

Привожу решения {{:marathon:domashenko_mm241.docx|Александра Домашенко}} и {{:marathon:ariadna_mm241.pdf|Валентины Колыбасовой}}.

**Обсуждение**

На первую задачу юбилейного Марафонского конкурса поступило 10 решений.
Радует появление сразу троих новых участников. Огорчает исчезновение примерно такого же числа участников предыдущего конкурса. Призываю их подключиться к конкурсу со следующей задачи.

Задача ММ241 не вызвала затруднений у большинства конкурсантов. 
Но был один момент, вызвавший разногласия участников. Он касается разрешимости задачи для значений n=1 и n=3.
Участники разделись на 3 категории:\\ 
первые (Константин Шамсутдинов и Владислав Франк) считают, что задача разрешима для каждого из этих n;\\
вторые (их большинство) полагают, что задача разрешима для n=3, но не для n=1;\\
наконец Александр Домашенко придерживается мнения, что задача не разрешима для обоих упомянутых n.

Александр не проаргументировал свое мнение, что постановка задачи имеет смысл, начиная с n=4. Полагаю, он отталкивался от бинарности операций сложения и умножения.
Аргументы Владислава и Константина - произведение элементов пустого множества равно 1, поэтому для n=1 можно поместить 1 в первое подмножество, а во второе не помещать ничего.
Я согласен с аргументом про произведение элементов пустого множества, но... В формулировке идет речь о разбиении. А в разбиении по определению участвуют только непустые подмножества.
Поэтому (а вовсе не из конформизма) я склонен присоединиться к большинству. Но при этом не снижал баллы тем, кто придерживается альтернативных мнений.

Дополнительные баллы начислены за успешный поиск разбиений, не попадающих под общее описание (упоминание наличия таких разбиений и приведение единичного примера не учитывались).
Мераб Левиашвили предложил несколько простых вариаций на тему задачи. Уточняю для него и других новичков Марафона, что дополнительными баллами такие предложения оцениваются при условии, что они содержат какие-то продвижения в указанных направлениях (ну, или если покажутся ведущему неожиданными и очень красивыми). 

Напоминаю как новичкам, так и некоторым забывчивым старожилам, что я жду от вас эстетических оценок предлагаемых задач.

**Награды**

За решение задачи ММ241 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ 
Александр Домашенко - 6;\\
Константин Шамсутдинов - 5;\\
Анатолий Казмерчук - 4;\\
Мераб Левиашвили - 4;\\
Виктор Филимоненков - 4;\\
Владислав Франк - 4;\\
Валентина Колыбасова - 4;\\
Антон Никонов - 4;\\
Владимир Дорофеев - 4;\\
Анна Букина - 2.

**Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла**
----