===== ММ247 =====

**Конкурсная задача ММ247** (7 баллов)


Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию f<sub>k</sub>(n)=lcm(n, n+1,..., n+k-1)/lcm(n+1, n+2,..., n+k)}
Найти наименьшие значения f<sub>5</sub>(n) и f<sub>9</sub>(n).

**Решение**

Привожу решения {{:marathon:kazmerchuk_mm_247.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:bukina_mm247_.pdf|Анны Букиной}}. 

**Обсуждение** 

ММ247 - обещанное продолжение ММ238.
Большинство конкурсантов (ряды коих к финишу традиционно начали потихоньку редеть) справились с задачей. 
Некоторые изъятия баллов связаны с недостаточной обоснованностью ответа, ошибкой в арифметике и загадочное утверждение о простоте числа 289 (я специально подбирал, чтобы второй ответ был квадратом первого и, надо же - простое?!)
Поощрения сделаны за некоторые обобщения.\\
Хотя я рассчитывал (и намекал на это при обсуждении ММ238), что участники не ограничатся заменой чисел 5 и 9 на произвольное k.
Ограничились :-(\\
Тогда сам сформулирую интересные (на мой взгляд вопросы):\\
Сколько целых значений принимает f<sub>k</sub>(n) и какие целые числа могут быть этими значениями? (Целые значения f<sub>5</sub>(n) - 1,5,7,11. Но напрашивающаяся гипотеза о ф(sup(f<sub>k</sub>(n))) целых значениях f<sub>k</sub>(n) не подтвердилась)\\
Ясно, что каждое свое значение f<sub>k</sub>(n) принимает конечное число раз. Можно ли, зная k без прямого перебора указать какое(какие) это будет значение и сколько раз оно достигается?

**Награды**

За решение задачи ММ247 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
Анатолий Казмерчук - 9;\\
Владислав Франк - 9;\\
Константин Шамсутдинов - 9;\\
Владимир Дорофеев - 8;\\
Анна Букина - 7;\\
Мераб Левиашвили - 7;\\
Валентин Пивоваров - 6;\\
Александр Домашенко - 6;\\
waxter - 6;\\
Виктор Филимоненков - 5.

**Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла**
----