===== ММ260 =====
 **Конкурсная задача ММ260** (12 баллов)

__Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231__

Пусть ABC - некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, BC и AC, а s - некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ?ABC, если\\
AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA;\\
треугольник KLM подобен треугольнику ABC.\\
Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?

**Решение**

Привожу решения {{:marathon:mm260_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_260.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:mm260_val.pdf|авторское}}.

**Обсуждение** 

ММ260 - плод присущего ведущему духу противоречия. Это ответ на реакцию ряда марафонцев на ММ231, не усмотревших у этой задачи интересных обобщений.\\
Судя по тому, что ММ260 конкурсантам понравилась, "месть" удалась.

Некоторые затруднения, возникшие у участников, оказались связаны с исследованием частного случая, когда исходный треугольник равнобедренный, но не равносторонний. 
Все марафонцы заметили, что количество подобно-вписанных треугольников для таких треугольников меньше, чем для разносторонних, не все правильно выяснили на сколько меньше.

В то же время, никто не прошел мимо класса автомедианных (см. авторское решение) треугольников. Я столкнулся с этим классом треугольников именно при решении данной задачи. То, что они называются автомедианными я узнал позже, от А. Д. Блинкова (хотя сразу обнаружил, что эти треугольники подобны треугольникам из своих медиан).
Кроме того, мне сразу бросилась в глаза масса замечательных свойств этих треугольников. Часть этих свойств приведена в авторском решении. Позже мы с Ярославом Сысосевым обнаружили еще море свойств (большинство из которых оказались нигде ранее не описаны). 
Возможно, они пригодятся для новых марафонских задач. Поэтому я не буду приводить их здесь.

**Награды**

За решение задачи ММ260 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
Анатолий Казмерчук - 13\\
Денис Овчинников - 13\\
Константин Шамсутдинов - 12\\
Виктор Филимоненков - 11\\
Владислав Франк - 10\\

**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов **
----